Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

x = a arcsin
(
r
E
1
E
1
+ U
0
sin
"
±
t − t
0
a
r
2(E
1
+ U
0
)
m
+
+ arcsin
r
E
1
+ U
0
E
1
sin
x
0
a
#)
.
τ
sin
2π
τ
a
r
2(E
1
+ U
0
)
m
= 2π, τ = 2πa
r
m
2(E
1
+ U
0
)
.
τ
2
=
Z
x
2
x
1
dx
q
2
m
£
E
1
− U
0
tg
2
(
x
a
)
¤
,
x
1
x
2
m l
x = l cos ϕ, y = l sin ϕ;
˙x = − ˙ϕl sin ϕ, ˙y = ˙ϕl cos ϕ.
-
y
?
x
A
A
A
A
A
A
lϕ
t
mg
?
T =
m
2
( ˙x
2
+ ˙y
2
) =
m
2
l
2
˙ϕ
2
.
U = −mgx = −mgl cos ϕ.
Φ
0
E = T + U = U(Φ
0
) ⇒ ml
2
˙ϕ
2
/2 − mgl cos ϕ = −mgl cos Φ
0
.
dϕ
dt
= ±
r
2g
l
(cos ϕ − cos Φ
0
).
Ðåøàÿ åãî ñ ïîìîùüþ ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷èì
                   (r               "           r
                          E1          t − t0        2(E1 + U0 )
    x = a arcsin                sin ±                           +
                        E1 + U0         a               m
                                                                r                            #)
                                                                    E 1 + U0     x0
                                                      + arcsin               sin                  .
                                                                       E1        a
Çíàê îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíûì íàïðàâëåíèåì ñêîðîñòè. Ïåðèîä äâèæåíèÿ τ
ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèþ àðãóìåíòà sin (âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ)
íà 2π :         r                          r
               τ 2(E1 + U0 )                           m
                              = 2π, τ = 2πa                 .
               a       m                        2(E1 + U0 )
Ýòîò ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü, ïðîèíòåãðèðîâàâ óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìåæ-
äó òî÷êàìè ïîâîðîòà (ïðîâåðèòü!):
                          Z x2
                      τ                dx
                        =      q £                  ¤,
                      2           2           2  x
                                  m E1 − U0 tg ( a )
                           x1

ãäå x1 è x2 ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè âûðàæåíèÿ â çíàìåíàòåëå.

Çàäà÷à 1.14. Îïðåäåëèòü ïåðèîä êîëåáàíèé ïëîñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ìà-
ÿòíèêà (òî÷êà ìàññû m, ïîäâåøåííàÿ íà êîíöå íåâåñîìîãî ñòåðæíÿ äëèíîé l
â ïîëå òÿæåñòè).                                                -
                                                                           A             y
Ðåøåíèå .                                                                   A
                                                                               A
                                                                           ϕ Al
                                                                                   A
               x = l cos ϕ,     y = l sin ϕ;                                        At

             ẋ = −ϕ̇l sin ϕ,    ẏ = ϕ̇l cos ϕ.                       x   ?        ?
                                                                                    mg

                            m              m
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ :  T = (ẋ2 + ẏ 2 ) = l2 ϕ̇2 .
                             2             2
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ : U = −mgx = −mgl cos ϕ.
Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ ñóììîé êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé, ñîâ-
ïàäàåò ñ ïîòåíöèàëüíîé, êîãäà óãîë îòêëîíåíèÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ
äîñòèãàåò ñâîåãî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ Φ0 :
      E = T + U = U (Φ0 )       ⇒       ml2 ϕ̇2 /2 − mgl cos ϕ = −mgl cos Φ0 .
Îòñþäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ:
                                    r
                           dϕ           2g
                              =±           (cos ϕ − cos Φ0 ).
                           dt            l
                                            9

Страницы