Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
ϕ(t
0
) = 0
t − t
0
=
s
l
2g
Z
ϕ
0
dϕ
√
cos ϕ − cos Φ
0
.
τ ϕ
−Φ
0
Φ
0
Φ
0
τ = 4
s
l
2g
Z
Φ
0
0
dϕ
√
cos ϕ − cos Φ
0
.
cos ϕ = 1 − 2 sin
2
(ϕ/2),
τ = 2
s
l
g
Z
Φ
0
0
dϕ
p
sin
2
(Φ
0
/2) − sin
2
(ϕ/2)
.
ξ
sin(ϕ/2) = sin(Φ
0
/2) sin ξ,
τ = 4
s
l
g
Z
π/2
0
dξ
p
1 − k
2
sin
2
ξ
,
k = sin(Φ
0
/2)
K(k) =
Z
π/2
0
dξ
p
1 − k
2
sin
2
ξ
τ = 4
s
l
g
K
µ
sin
Φ
0
2
.
Φ
0
¿ 1, K(k)
k
2
sin
2
ξ
τ = 4
s
l
g
Z
π/2
0
µ
1 +
k
2
2
sin
2
ξ + . . .
dξ = 2π
s
l
g
·
1 +
Φ
2
0
16
+ . . .
¸
.
Âûáåðåì ïîëîæèòåëüíûé çíàê, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ϕ âîçðàñòàåò âî âðåìåíè.
Ðàçäåëÿåì ïåðåìåííûå è èíòåãðèðóåì, ïîëàãàÿ, ÷òî ϕ(t0 ) = 0:
                                s          Z        ϕ
                                     l                           dϕ
                     t − t0 =                           √                  .
                                    2g         0            cos ϕ − cos Φ0
Ïåðèîä êîëåáàíèÿ τ îïðåäåëÿåòñÿ óäâîåííûì âðåìåíåì èçìåíåíèÿ óãëà ϕ îò
−Φ0 äî Φ0 èëè ó÷åòâåðåííûì  îò íóëÿ äî Φ0 :
                              s        Z       Φ0
                                   l                          dϕ
                      τ =4                          √                   .
                                  2g       0             cos ϕ − cos Φ0
Âîñïîëüçîâàâøèñü òðèãîíîìåòðè÷åñêèì òîæäåñòâîì
                           cos ϕ = 1 − 2 sin2 (ϕ/2),
ïîëó÷èì              s Z
                       l Φ0               dϕ
                τ =2          p                           .
                       g 0      sin2 (Φ0 /2) − sin2 (ϕ/2)
Ââåä¼ì íîâóþ ïåðåìåííóþ ξ ñîîòíîøåíèåì
                         sin(ϕ/2) = sin(Φ0 /2) sin ξ,
ïîñëå ïîäñòàíîâêè êîòîðîé â èíòåãðàë ïîëó÷èì:
                            s Z
                             l π/2      dξ
                       τ =4        p             ,
                             g 0          2   2
                                     1 − k sin ξ
ãäå k = sin(Φ0 /2). Ôóíêöèÿ
                                       Z   π/2
                                                               dξ
                         K(k) =                     p
                                       0                 1 − k 2 sin2 ξ
íàçûâàåòñÿ ïîëíûì ýëëèïòè÷åñêèì èíòåãðàëîì 1-ãî ðîäà. Òàêèì îáðàçîì,
                                       s      µ       ¶
                                           l       Φ0
                           τ =4              K sin      .
                                           g       2
Åñëè Φ0 ¿ 1, K(k) ìîæíî âû÷èñëèòü ïðèáëèæåííî, ðàçëàãàÿ êîðåíü â çíà-
ìåíàòåëå ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì ìàëîãî ïàðàìåòðà
k 2 sin2 ξ :
           s Z                                 s ·
                π/2 µ     2
                                      ¶                        ¸
            l           k   2                   l     Φ20
      τ =4           1 + sin ξ + . . . dξ = 2π     1+     + ... .
            g 0         2                       g     16

                                                    10

Страницы