Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

v
1
sin ϑ
1
= v
2
sin ϑ
2
.
v
1
v
2
sin ϑ
1
sin ϑ
2
=
s
1 −
2∆U
mv
2
1
.
U
2
> U
1
∆U > 0 ϑ
2
> ϑ
1
sin ϑ
2
6 1
sin ϑ
1
/
s
1 −
2∆U
mv
2
1
> 1
U
2
U
1
N
U(r
1
, . . . , r
N
)
T =
1
2
V,
V =
N
X
k=1
µ
r
k
·
∂U
∂r
k
f ≡ lim
τ→∞
1
τ
Z
τ
0
f(t) dt f(t).
T =
1
2
N
X
k=1
(
˙
r
k
· p
k
) =
1
2
d
dt
N
X
k=1
(r
k
· p
k
) −
1
2
N
X
k=1
(r
k
·
˙
p
k
).
˙
p
k
= −
∂U
∂r
k
,
T =
1
2
d
dt
N
X
k=1
(r
k
· p
k
) +
1
2
N
X
k=1
(r
k
·
∂U
∂r
k
) =
1
2
d
dt
N
X
k=1
(r
k
· p
k
) +
1
2
V.
ïîëóïðîñòðàíñòâàìè íà ÷àñòèöó äåéñòâóåò ñèëà, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ ïëîñêî-
ñòè ðàçäåëà), èìååì:
                                       v1 sin ϑ1 = v2 sin ϑ2 .
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà ïðåäûäóùåå ñîîòíîøåíèå ìåæäó v1 è v2 , ïîëó÷èì ñîîòíî-
øåíèå ìåæäó óãëàìè, îïðåäåëÿþùèìè íàïðàâëåíèå âåêòîðà ñêîðîñòè â äâóõ
îáëàñòÿõ ïðîñòðàíñòâà:          s
                                      sin ϑ1                 2∆U
                                             =        1−          .
                                      sin ϑ2                 mv12
Îòñþäà
     sâèäíî, ÷òî ïðè U2 > U1 (∆U > 0) ϑ2 > ϑ1 . Ïîñêîëüêó sin ϑ2 6 1, ïðè
           2∆U
sin ϑ1 / 1 −     > 1 ÷àñòèöà íå ìîæåò ïðîíèêíóòü â îáëàñòü ñ ïîòåíöèàëîì
            mv12
U2 è îòðàæàåòñÿ îò ãðàíèöû îáðàòíî â îáëàñòü ñ ïîòåíöèàëîì U1 .
Çàäà÷à 1.17. Ñèñòåìà N ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê äâèæåòñÿ â îãðàíè÷åííîé îá-
ëàñòè ïðîñòðàíñòâà (ò.å. íå ðàçëåòàåòñÿ), òàê ÷òî ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ å¼ êî-
îðäèíàò îñòàþòñÿ êîíå÷íûìè, â ïîëå ñèë ñ ïîòåíöèàëîì U (r1 , . . . , rN ). Ïîêà-
çàòü, ÷òî ïðè òàêîì äâèæåíèè âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå (òåîðåìà
î âèðèàëå)
         1
      T = V,                                                                 (1.9)
         2
ãäå
                                N µ
                                X                ¶
                                           ∂U
                      V=              rk ·            âèðèàë ñèñòåìû, à
                                           ∂rk
                                k=1
                  Z   τ
             1
      f ≡ lim    f (t) dt  ñðåäíåå ïî âðåìåíè çíà÷åíèå ôóíêöèè f (t).
        τ →∞ τ 0

Ðåøåíèå . Çàïèøåì êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû â âèäå:
                          N                          N                 N
                   1X              1d X              1X
               T =   (ṙk · pk ) =      (rk · pk ) −    (rk · ṗk ).
                   2               2 dt              2
                          k=1                        k=1               k=1

Ïðîèçâîäíóþ îò èìïóëüñà çàìåíèì ñîãëàñíî óðàâíåíèþ Íüþòîíà:
                                                          ∂U
                                           ṗk = −            ,
                                                          ∂rk
òîãäà
                      N                    N                          N
            1d X              1X       ∂U     1d X             1
        T =      (rk · pk ) +    (rk ·     )=      (rk · pk ) + V.
            2 dt              2        ∂rk    2 dt             2
                   k=1                     k=1                        k=1

                                                     12

Страницы