Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

R
αi
ψ
a
r
i
R
αi
= λ
α
∇
i
ψ
α
(r
1
, . . . , r
N
, t) ≡ λ
α
∂ψ
α
∂r
i
.
λ
α
R
i
=
K
X
α=1
λ
α
∇
i
ψ
α
(r
1
, . . . , r
N
, t), i = 1, 2, . . . , N.
R
i
m
i
¨
r
i
= F
i
+
K
X
α=1
λ
α
∇
i
ψ
α
, i = 1, 2, . . . , N.
r
i
(t) K λ
α
3N + K
6N
r
i
(0) = r
0i
, v
i
(0) = v
0i
,
r
i
(t) λ
α
§ §§ §§ §§
α
-
x
6
z
½
½
½
½
½
½
½
sm
?
mg
α
z = x tg α
ψ(x, z) = x tg α − z = 0.
m
¨
r = mg + λ∇ψ
   Åñëè ñâÿçü ãîëîíîìíà, òî âåêòîð Rαi êîëëèíåàðåí ãðàäèåíòó ôóíêöèè ψa
ïî ïåðåìåííîé ri :
                                  ∂ψα
    Rαi = λα ∇i ψα (r1 , . . . , rN , t) ≡ λα
                                       .                       (2.4)
                                   ∂ri
Çäåñü λα  íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð, íàçûâàåìûé íåîïðåäåë¼ííûì ìíîæèòå-
ëåì Ëàãðàíæà. Èòàê,
             K
             X
    Ri =           λα ∇i ψα (r1 , . . . , rN , t),   i = 1, 2, . . . , N.    (2.5)
             α=1
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû ñî ñâÿçÿìè ïîëó÷àþòñÿ äîáàâëåíèåì â ïðàâóþ
÷àñòü óðàâíåíèé Íüþòîíà (1.2) ñèë Ri
                       K
                       X
    mi r̈i = Fi +            λα ∇i ψα ,     i = 1, 2, . . . , N.             (2.6)
                       α=1

Ýòè óðàâíåíèÿ ñîâìåñòíî ñ óðàâíåíèÿìè ñâÿçåé (2.2) íàçûâàþòñÿ óðàâíå-
íèÿìè Ëàãðàíæà 1-ãî ðîäà. Íåèçâåñòíûìè â ýòèõ óðàâíåíèÿõ ÿâëÿþòñÿ âñå
ðàäèóñû-âåêòîðû ri (t) è K ìíîæèòåëåé λα . ×èñëî íåèçâåñòíûõ (3N + K )
ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì óðàâíåíèé (2.2) è (2.6), è ïðè çàäàííûõ 6N íà÷àëüíûõ
óñëîâèé
                                      ri (0) = r0i , vi (0) = v0i ,
ñîãëàñóþùèõñÿ ñ óðàâíåíèÿìè ñâÿçåé, ñèñòåìà óðàâíåíèé Ëàãðàíæà 1-ãî ðîäà
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, îïðåäåëÿþùåå êàê ri (t), òàê è ìíîæèòåëè λα , à
âìåñòå ñ íèìè è ðåàêöèè ñâÿçåé (2.5).
   Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà:
   [1, §16] , [2, §§23-25] , [4, §§ 2.1, 2.2] , [5, Ãë.1, §§1,2,3].

                                      Çàäà÷è ê ãëàâå 2
Çàäà÷à 2.1. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè ïî
ãëàäêîé íåïîäâèæíîé ïëîñêîñòè, îáðàçóþùåé óãîë α ñ ãîðèçîíòîì. Íàéòè
çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè è ðåàêöèþ ïëîñêîñòè.
Ðåøåíèå                          Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè z = x tg α îïðåäåëÿåò óðàâ-
     z   6                       íåíèå ãîëîíîìíîé ñâÿçè (ñì.(2.2)):
               m½s ½
             ½
               ½                        ψ(x, z) = x tg α − z = 0.           (2.7)
          ½α       ?mg
         ½           -
                       x         Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ
                                          mr̈ = mg + λ∇ψ

                                                     14

Страницы