Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

T = lim
τ→∞
1
τ
Z
τ
0
(
1
2
d
dt
N
X
k=1
(r
k
· p
k
) +
1
2
V
)
dt =
=
1
2
lim
τ→∞
1
τ
(
N
X
k=1
(r
k
· p
k
)|
t=τ
−
N
X
k=1
(r
k
· p
k
)|
t=0
)
+
1
2
V.
τ
τ → ∞
l
ψ(r
1
, . . . , r
N
, v
1
, . . . , v
N
, t) = 0.
ψ
∂ψ
∂t
= 0
ψ
v
i
K K < 3N
K
ψ
α
(r
1
, . . . , r
N
, t) = 0, α = 1, 2, . . . , K.
F
i
R
i
R
i
R
i
=
K
X
α=1
R
αi
,
R
αi
i α
Ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå óñðåäíèì ïî âðåìåíè:
                    Z           (         N
                                                               )
               1            τ
                                    1d   X                 1
    T = lim                                  (rk · pk ) + V dt =
          τ →∞ τ        0           2 dt                   2
                                         k=1
                                                 ( N                      N
                                                                                          )
                                       1       1    X                     X                 1
                                    = lim                (rk · pk )|t=τ −   (rk · pk )|t=0 + V.
                                       2 τ →∞ τ                                             2
                                                  k=1                k=1

Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ, îñòàåòñÿ êîíå÷íûì ïðè âñåõ τ , â
òîì ÷èñëå è ïðè τ → ∞. Òàêèì îáðàçîì, â ïðåäåëå ïåðâîå ñëàãàåìîå îáðàùà-
åòñÿ â íóëü, ÷òî è äîêàçûâàåò ñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû î âèðèàëå (1.9).


2    Ñâÿçè. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà 1-ãî ðîäà
 ìåõàíèêå ñóùåñòâóåò êëàññ çàäà÷, â êîòîðûõ íà âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ êî-
îðäèíàò è/èëè ñêîðîñòåé ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàëîæåíû îïðåäåë¼ííûå îãðà-
íè÷åíèÿ. Òàêèå îãðàíè÷åíèÿ íàçûâàþòñÿ ñâÿçÿìè. Íàïðèìåð, òî÷êà, ïîäâå-
øåííàÿ â ïîëå ñèëû òÿæåñòè íà íèòè ôèêñèðîâàííîé äëèíû l; òî÷êà íà ïî-
âåðõíîñòè ñôåðû ôèêñèðîâàííîãî ðàäèóñà, òî÷êà íà çàäàííîé êðèâîé è ò.ä.
Àíàëèòè÷åñêè ñâÿçü çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì ñâÿçè

    ψ(r1 , . . . , rN , v1 , . . . , vN , t) = 0.                                          (2.1)
                                                ∂ψ
Åñëè ôóíêöèÿ ψ íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè (        = 0), ñâÿçü íàçûâàåòñÿ
                                                ∂t
ñòàöèîíàðíîé, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå  íåñòàöèîíàðíîé. Íàèáîëüøèé èíòåðåñ
ïðåäñòàâëÿþò ãîëîíîìíûå ñâÿçè , êîòîðûå ìîãóò áûòü çàäàíû ôóíêöèåé ψ , íå
çàâèñÿùåé îò ñêîðîñòåé vi . Äëÿ ñèñòåìû ñ K ãîëîíîìíûìè ñâÿçÿìè (K < 3N )
èìååì K ñîîòíîøåíèé

    ψα (r1 , . . . , rN , t) = 0,         α = 1, 2, . . . , K.                             (2.2)

Êðîìå çàäàííûõ ñèë Fi , íà òî÷êè ñèñòåìû ñî ñòîðîíû ñâÿçåé äåéñòâóþò äî-
ïîëíèòåëüíûå ñèëû Ri , îáåñïå÷èâàþùèå âûïîëíåíèå óñëîâèé (2.2) ïðè äâè-
æåíèè ñèñòåìû. Ñèëû Ri íàçûâàþòñÿ ðåàêöèÿìè ñâÿçåé :
            K
            X
    Ri =          Rαi ,                                                                    (2.3)
            α=1

ãäå Rαi  ñèëà ðåàêöèè, äåéñòâóþùàÿ íà i-þ òî÷êó ñî ñòîðîíû α-é ñâÿçè.


                                                        13

Страницы