Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

m
1
, m
2
e
1
, e
2
E
m
1
¨
r
1
= e
1
E + F
12
m
2
¨
r
2
= e
2
E + F
21.
M = m
1
+m
2
r
c
= (m
1
r
1
+ m
2
r
2
)/(m
1
+ m
2
),
F
12
= −F
21
M
¨
r
c
= eE,
e = e
1
+ e
2
e
r
c
(t) =
et
2
2M
E +
˙
r
c0
t + r
c0
.
m v
1
x < 0
U
1
x > 0
U
2
-
x
6
y
*
ϑ
1
v
1
ϑ
2
v
2
mv
2
1
2
+ U
1
=
mv
2
2
2
+ U
2
v
2
= v
1
s
1 −
2∆U
mv
2
1
,
∆U = U
2
− U
1
.
Ïåðâûé ÷ëåí ñîîòâåòñòâóåò èçâåñòíîé ôîðìóëå ïåðèîäà ìàëûõ êîëåáàíèé ìà-
òåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà.
Çàäà÷à 1.15. Îïðåäåëèòü çàêîí äâèæåíèÿ öåíòðà èíåðöèè ñèñòåìû äâóõ çà-
ðÿæåííûõ ÷àñòèö ñ ìàññàìè m1 , m2 è çàðÿäàìè e1 , e2 â îäíîðîäíîì ïîñòîÿí-
íîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå íàïðÿæåííîñòè E.
Ðåøåíèå . Çàïèøåì óðàâíåíèÿ Íüþòîíà
                                m1 r̈1 = e1 E + F12
                                m2 r̈2 = e2 E + F21.
Ñëîæèì ýòè äâà óðàâíåíèÿ, ðåçóëüòàò ðàçäåëèì íà ñóììó ìàññ M = m1 +m2 .
Ââîäÿ êîîðäèíàòó öåíòðà ìàññ ñîîòíîøåíèåì
                         rc = (m1 r1 + m2 r2 )/(m1 + m2 ),
è ó÷èòûâàÿ òðåòèé çàêîí Íüþòîíà F12 = −F21 , ïîëó÷èì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ
äëÿ öåíòðà èíåðöèè:
                                       Mr̈c = eE,
ãäå e = e1 + e2  ñóììàðíûé çàðÿä äâóõ ÷àñòèö. Òàêèì îáðàçîì, öåíòð èíåð-
öèè ñèñòåìû çàðÿäîâ âî âíåøíåì ïîëå äâèæåòñÿ ïî çàêîíó äâèæåíèÿ ÷àñòèöû
ñ ñóììàðíîé ìàññîé è ñóììàðíûì çàðÿäîì. Âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ÷àñòèöà-
ìè íà äâèæåíèe öåíòðà ìàññ íèêàêîãî âëèÿíèÿ íå îêàçûâàåò.
   Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïîëó÷èì çàêîí äâèæåíèÿ öåí-
òðà ìàññ:
                                       et2
                            rc (t) =       E + ṙc0 t + rc0 .
                                       2M
Çàäà÷à 1.16. ×àñòèöà ìàññû m, äâèæóùàÿñÿ ñî ñêîðîñòüþ v1 , ïåðåõîäèò
èç ëåâîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà, x < 0, â êîòîðîì å¼ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
ïîñòîÿííà è ðàâíà U1 , â ïðàâîå ïîëóïðîñòðàíñòâî, x > 0, ãäå ýòà ýíåðãèÿ
òîæå ïîñòîÿííà è ðàâíà U2 . Îïðåäåëèòü èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ
÷àñòèöû.
Ðåøåíèå .
      y6
             v2
                                                                mv12        mv22
           ϑ2      -
                       Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè                  + U1 =      + U2
 ϑ1*
                   x                       s                     2           2
   v1                                2∆U

                       ñëåäóåò: v2 = v1    , 1−
                                      mv12
ãäå ∆U = U2 − U1 . Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ñîñòàâëÿþùåé èìïóëüñà, êàñà-
òåëüíîé ê ãðàíèöå ðàçäåëà äâóõ ïîëóïðîñòðàíñòâ (ïðè ïåðåõîäå ìåæäó

                                            11

Страницы