Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

m¨x = λ tg α; m¨y = 0; m¨z = −mg −λ.
y
(
t
)
y(t) = y
0
+ ˙y
0
t.
z x x
λ = −mg cos
2
α.
R
x
= −
mg
2
sin 2α, R
y
= 0, R
z
= mg cos
2
α.
x(t) = −
gt
2
4
sin 2α + ˙x
0
t + x
0
;
z(t) = x(t) tg α = −
gt
2
2
sin
2
α + ( ˙x
0
t + x
0
) tg α.
y
2
= ax
y(0) = y
0
m
¨
r = mg + λ∇ψ,
ψ(x, y) = y
2
− ax = 0.
-
x
6
y
y
0
y
c
0
s
s
m¨x = −λa,
m¨y = −mg + 2λy.
â êîîðäèíàòíîé çàïèñè ïðèíèìàåò âèä:

                  mẍ = λ tg α;      mÿ = 0; mz̈ = −mg − λ.

Óðàâíåíèå íà y(t) ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü ñðàçó:

                                y(t) = y0 + ẏ0 t.

Âûðàçèâ z ÷åðåç x èç óðàâíåíèÿ ñâÿçè (2.7), à çàòåì èñêëþ÷èâ x, ïîëó÷èì:

                               λ = −mg cos2 α.

Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â (2.4), ïîëó÷èì äëÿ äåêàðòîâûõ êîìïîíåíò ñèëû
ðåàêöèè ñâÿçè:
                        mg
               Rx = −      sin 2α,    Ry = 0,    Rz = mg cos2 α.
                         2
Èíòåãðèðóÿ òåïåðü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñ èçâåñòíûìè ñèëàìè, ïîëó÷èì

                                 gt2
                        x(t) = −     sin 2α + ẋ0 t + x0 ;
                                  4
                                    gt2 2
               z(t) = x(t) tg α = −    sin α + (ẋ0 t + x0 ) tg α.
                                     2

Çàäà÷à 2.2. Òî÷êà äâèæåòñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè ïî ãëàäêîé íåïî-
äâèæíîé ïàðàáîëå, ðàñïîëîæåííîé â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Îñü ïàðàáîëû
ãîðèçîíòàëüíà, óðàâíåíèå ïàðàáîëû: y 2 = ax. Èçâåñòíî íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå
òî÷êè y(0) = y0 , à å¼ íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ðàâíà íóëþ. Íà êàêîé âûñîòå òî÷êà
îòîðâåòñÿ îò ïàðàáîëû?
Ðåøåíèå . Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà èìåþò âèä                 y6
                                                       y0            s
              mr̈ = mg + λ∇ψ,
                                                       yc    s

            ψ(x, y) = y 2 − ax = 0.
 Ðåøåíèå çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ çàâè-                       -
 ñèìîñòè ñèëû ðåàêöèè ñâÿçè îò êîîðäèíàò.      0                 x
 òî÷êå îòðûâà ýòà ñèëà äîëæíà îáðàòèòüñÿ â íóëü. Ðàñïèøåì óðàâíåíèå
äâèæåíèÿ ïîêîìïîíåíòíî:
                                  mẍ = −λa,
                              mÿ = −mg + 2λy.

                                        15

Страницы