Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

R = 2λ(
x
a
2
i +
y
b
2
j +
z
c
2
k); λ =
κ −m( ˙x
2
/a
2
+ ˙y
2
/b
2
+ ˙z
2
/c
2
)
2(x
2
/a
4
+ y
2
/b
4
+ z
2
/c
4
)
.
m
ω a z = a sin(ωt)
R = m(g − aω
2
sin ωt)k
aω
2
> g
E(t) = m( ˙x
2
0
+ ˙y
2
0
)/2 + ma sin ωt
£
g − (aω
2
/2) sin ωt
¤
l
v
0
z
0
R
z
v
min
v
max
R
max
= 10mg
R = m
£
v
2
0
+ g(2z
0
− 3z)
¤
/l, −l < z < l
v
min
=
p
g(3l − 2z
0
);
v
max
=
p
g(7l − 2z
0
).
ϑ
0
= const v
R ϑ
0
v(ϑ
0
) =
p
gl/ cos ϑ
0
sin ϑ
0
; R(ϑ
0
) = mg/ cos ϑ
0
.
Óêàçàíèå : Íà÷àëî êîîðäèíàò âçÿòü â öåíòðå ýëëèïñîèäà. Óñêîðåíèå âûðà-
      çèòü ÷åðåç ñêîðîñòü, äâàæäû ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ óðàâíåíèå ñâÿçè
      ïî âðåìåíè.
Îòâåò :
                   x      y     z             κ − m(ẋ2 /a2 + ẏ 2 /b2 + ż 2 /c2 )
            R = 2λ( 2 i + 2 j + 2 k);      λ=                                       .
                   a     b     c                2(x2 /a4 + y 2 /b4 + z 2 /c4 )

Çàäà÷à 2.9. Òî÷êà ìàññû m äâèæåòñÿ â ïîëå òÿæåñòè ïî ãëàäêîé ãîðèçîí-
òàëüíîé ïëîñêîñòè, êîëåáëþùåéñÿ â âåðòèêàëüíîì íàïðàâëåíèè ñ ÷àñòîòîé
ω , àìïëèòóäîé a ïî çàêîíó: z = a sin(ωt).
    1) Îïðåäåëèòü ñèëó äàâëåíèÿ ÷àñòèöû íà ïëîñêîñòü.
    2) Ïðè êàêîì óñëîâèè ÷àñòèöà ìîæåò îòîðâàòüñÿ îò ïëîñêîñòè?
    3) Îïðåäåëèòü çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ïîëíîé ýíåðãèè ÷àñòèöû.
Îòâåò : 1) R = m(g − aω 2 sin ωt)k.
       2) aω 2 > g .                          £                    ¤
       3) E(t) = m(ẋ20 + ẏ02 )/2 + ma sin ωt g − (aω 2 /2) sin ωt .

Çàäà÷à 2.10. ×àñòèöà, ïîäâåøåííàÿ íà êîíöå íåðàñòÿæèìîé íèòè äëèíû
l, çàêðåïëåííîé äðóãèì êîíöîì â íà÷àëå êîîðäèíàò, äâèæåòñÿ â ïîëå ñèëû
òÿæåñòè, îñòàâàÿñü â îäíîé è òîé æå âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Íà÷àëüíàÿ
ñêîðîñòü ÷àñòèöû v0 , âåðòèêàëüíàÿ êîîðäèíàòà z0 . Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî íèòü âî
âñåõ òî÷êàõ òðàåêòîðèè îñòàåòñÿ â íàòÿíóòîì ñîñòîÿíèè, îïðåäåëèòü:
    1) çàâèñèìîñòü ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè R îò âåðòèêàëüíîé êîîðäèíàòû ÷à-
ñòèöû z ;
    2) ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå íà÷àëüíîé ñêîðîñòè vmin , íåîáõîäèìîé äëÿ òîãî,
÷òîáû òðàåêòîðèåé ÷àñòèöû áûëà âåðòèêàëüíàÿ îêðóæíîñòü;
    3)ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå íà÷àëüíîé ñêîðîñòè vmax , ÷òîáû íèòü íå ðàçî-
ðâàëàñü, åñëè ïðåäåëüíàÿ äëÿ íåå ñèëà íàòÿæåíèÿ ðàâíà Rmax = 10mg .
                  £               ¤
Îòâåò : 1) R = m v02 + g(2z0 − 3z) /l, −l < z < l;
                  p
        2) vmin = pg(3l − 2z0 );
        3) vmax = g(7l − 2z0 ).

Çàäà÷à 2.11. ×àñòèöà, îïèñàííàÿ â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, äâèæåòñÿ â ãîðèçîí-
òàëüíîé ïëîñêîñòè ïî îêðóæíîñòè òàê, ÷òî óãîë ìåæäó íèòüþ è âåðòèêàëüþ
ϑ0 = const. Îïðåäåëèòü çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ÷àñòèöû v è ñèëû
íàòÿæåíèÿ íèòè R îò óãëà ϑ0 .
                p
Îòâåò : v(ϑ0 ) = gl/ cos ϑ0 sin ϑ0 ; R(ϑ0 ) = mg/ cos ϑ0 .

                                          18

Страницы