Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

r
i
R
i
R
i
q
i
, (i = 1, 2, . . . , s)
s
N K
s = 3N − K.
q
i
q = q
i
(t), i = 1, 2, . . . , s.
q
i
s
r
i
x
i
y
i
, z
i
q
i
t
r
i
= r
i
(q
1
, q
2
, . . . , q
s
), i = 1, 2, . . . , N.
0 ≡ 0
s = 3N
t
x
i
, y
i
, z
i
q
i
d
dt
∂L
∂ ˙q
i
−
∂L
∂q
i
= 0, i = 1, 2, . . . , s,
L
L = T − U,
3 Îáîáù¼ííûå êîîðäèíàòû. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà
Ñâÿçè âíîñÿò â ðåøåíèÿ çàäà÷ äâå òðóäíîñòè:
   1) íå âñå ri íåçàâèñèìû, ò.ê. îíè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè (2.2);
   2) ðåàêöèè ñâÿçåé Ri çàðàíåå íåèçâåñòíû, ÷òî óâåëè÷èâàåò ÷èñëî íåèçâåñò-
íûõ, ïîäëåæàùèõ îïðåäåëåíèþ èç óðàâíåíèé (2.6).
   Ñóùåñòâóåò îäíàêî äðóãîé ñïîñîá çàïèñè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, â êîòîðîì
ðåàêöèè ñâÿçåé Ri íå ôèãóðèðóþò. Îí îñíîâàí íà ââåäåíèè îáîáù¼ííûõ êî-
îðäèíàò qi , (i = 1, 2, . . . , s), ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîâîêóïíîñòü ìèíèìàëüíîãî
÷èñëà íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí , îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþùèõ ëþáîå ïîëîæåíèå
ñèñòåìû â ïðîñòðàíñòâå. Ýòî ÷èñëî s íàçûâàåòñÿ ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû
ñèñòåìû. Î÷åâèäíî, äëÿ ñèñòåìû N ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ K ãîëîíîìíûìè
ñâÿçÿìè (2.2) èìååì:

    s = 3N − K.                                                         (3.1)

Äâèæåíèþ ñèñòåìû ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèå qi ñ òå÷åíèåì âðåìåíè:

    q = qi (t),          i = 1, 2, . . . , s.                           (3.2)

Èç îïðåäåëåíèÿ qi ñëåäóåò, ÷òî â êà÷åñòâå îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò ìîæíî èñ-
ïîëüçîâàòü ëþáûå s íåçàâèñìûõ âåëè÷èí, óäîâëåòâîðÿþùèõ äâóì óñëîâèÿì:
   à) ðàäèóñû âåêòîðû ri (ò.å. äåêàðòîâû êîîðäèíàòû xi , yi , zi ) âñåõ òî÷åê
äîëæíû áûòü îäíîçíà÷íûìè ôóíêöèÿìè qi (è, ìîæåò áûòü, âðåìåíè, åñëè
ñâÿçè (2.2) ñîäåðæàò t )

    ri = ri (q1 , q2 , . . . , qs ),   i = 1, 2, . . . , N.             (3.3)

   á) ñîîòíîøåíèÿ (3.3), áóäó÷è ïîäñòàâëåíû â óðàâíåíèå ñâÿçåé (2.2), äîëæ-
íû îáðàùàòü èõ â òîæäåñòâà 0 ≡ 0 (îñâîáîæäåíèå îò ñâÿçåé). ßñíî, ÷òî
ïðè îòñóòñòâèè ñâÿçåé â ñèñòåìå s = 3N , ñîîòíîøåíèÿ (3.3) âñåãäà ìîæíî
âûáðàòü íå ñîäåðæàùèìè t è â ýòîì ñëó÷àå îíè áóäóò îïèñûâàòü ïåðåõîä
îò äåêàðòîâûõ ïåðåìåííûõ xi , yi , zi ê äðóãîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (íàïðèìåð,
ñôåðè÷åñêîé èëè öèëèíäðè÷åñêîé).
   Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ïåðåìåííûõ qi íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà
è äëÿ ñèñòåìû ñ ïîòåíöèàëüíûìè ñèëàìè èìåþò âèä:
    d ∂L ∂L
            −    = 0,             i = 1, 2, . . . , s,                  (3.4)
    dt ∂ q̇i ∂qi
ãäå L  ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà:

    L = T − U,                                                          (3.5)

                                                         19

Страницы