Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

T U
q
i
˙q
i
˙q
i
L = L(q
i
, ˙q
i
, t)
T =
N
X
k=1
1
2
m
k
˙
r
2
k
, U = U(r
1
, . . . , r
N
)
r
i
˙
r
k
=
s
X
i=1
∂r
k
∂q
i
˙q
i
+
∂r
k
∂t
.
t T ˙q
i
T =
1
2
s
X
i=1
s
X
j=1
a
ij
(q
1
, . . . , q
s
) ˙q
i
˙q
j
, a
ij
=
N
X
k=1
m
k
µ
∂r
k
∂q
i
·
∂r
k
∂q
j
.
F
( )
k
d
dt
∂L
∂ ˙q
i
−
∂L
∂q
i
= Q
i
, i = 1, 2, . . . , s,
Q
i
=
N
X
k=1
µ
F
( )
k
·
∂r
k
∂q
i
δ
Z
Ldt = 0.
E
E =
s
X
i=1
˙q
i
∂L
∂ ˙q
i
− L.
T è U  êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè ñèñòåìû, çàïèñàííûå â ïå-
ðåìåííûõ qi è q̇i (q̇i  îáîáù¼ííûå ñêîðîñòè) . Èòàê, L = L(qi , q̇i , t) Äëÿ
ïîëó÷åíèÿ ýòîé ôóíêöèè íóæíî âçÿòü ñíà÷àëà îáû÷íûå (äåêàðòîâû!) ôîð-
ìóëû
            N
            X 1
    T =               mk ṙ2k ,      U = U (r1 , . . . , rN )                                        (3.6)
                  2
            k=1

è ïîäñòàâèòü â íèõ ri èç (3.3), ó÷èòûâàÿ, ÷òî
            s
            X ∂rk                   ∂rk
    ṙk =                   q̇i +       .                                                            (3.7)
            i=1
                      ∂qi           ∂t

Åñëè (3.3) íå ñîäåðæàò t, òî T êâàäðàòè÷íî çàâèñèò îò q̇i :
                  s     s                                          N          µ             ¶
        1 XX                                                       X              ∂rk ∂rk
    T =           aij (q1 , . . . , qs )q̇i q̇j ,          aij =         mk          ·          .    (3.8)
        2 i=1 j=1                                                                 ∂qi ∂qj
                                                                   k=1

                                                                                   (í)
Åñëè â ñèñòåìå äåéñòâóþò è íåïîòåíöèàëüíûå ñèëû Fk , (íàïðèìåð, çàâèñÿ-
ùèå îò ñêîðîñòè), òî óðàâíåíèÿ (3.4) âèäîèçìåíÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
    d ∂L ∂L
            −    = Qi ,                 i = 1, 2, . . . , s,                                         (3.9)
    dt ∂ q̇i ∂qi
         XN µ            ¶
                (í) ∂r k
ãäå Qi =       Fk ·         "îáîáù¼ííûå íåïîòåíöèàëüíûå ñèëû".
                    ∂qi
         k=1
   Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ìîæíî ïîëó÷èòü êàê èç óðàâíåíèé Ëàãðàíæà 1-ãî
ðîäà (2.6), èñïîëüçóÿ òàê íàçûâàåìûå óñëîâèÿ èäåàëüíîñòè ñâÿçåé , òàê è
áîëåå ôîðìàëüíûì îáðàçîì èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ
      Z
    δ Ldt = 0.                                                    (3.10)

  Îäíèì èç âàæíûõ äîñòîèíñòâ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà ÿâëÿåòñÿ èõ êîâàðè-
àíòíîñòü, ò.å. íåçàâèñèìîñòü èõ âèäà îò âûáîðà ñèñòåìû îáîáù¼ííûõ êîîð-
äèíàò.
  Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû E â ëàãðàíæåâîì ôîðìàëèçìå åñòü
       Xs
               ∂L
    E=     q̇i       − L.                                                                           (3.11)
       i=1
               ∂ q̇i



                                                          20

Страницы