Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

T =
m
1
˙z
2
1
2
+
m
2
˙z
2
2
2
.
U = −m
1
gz
1
− m
2
gz
2
.
z
1
+ z
2
= l = const
ÁÀ
¿
q
?
z
s
m
2
s
m
1
z = z
1
z
2
= l −z, ˙z
2
= −˙z L = T −U
L =
m
1
+ m
2
2
˙z
2
+ g(m
1
− m
2
)z + gm
2
l.
d
dt
∂L
∂ ˙z
−
∂L
∂z
= 0
(m
1
+ m
2
)¨z + (m
2
− m
1
)g = 0, ¨z =
m
1
− m
2
m
1
+ m
2
g
˙z =
m
1
− m
2
m
1
+ m
2
gt + V
0z
; z =
m
1
− m
2
m
1
+ m
2
g
t
2
2
+ V
0z
t + z
0
.
V
0z
, z
0
m
1
m
2
s(t)
T =
m
1
˙z
2
1
2
+
m
2
˙z
2
2
2
U = −m
1
gz
1
− m
2
gz
2
z
1
+ z
2
+ s(t) = l = const
q z = z
2
z
1
= l −s − z ˙z
1
= −˙s − ˙z
L =
m
1
2
( ˙s + ˙z)
2
+
m
2
˙z
2
2
+ m
1
g(l − s − z) + m
2
gz.
d
dt
∂L
∂ ˙z
−
∂L
∂z
= 0
m
1
(¨z + ¨s) + m
2
¨z − (m
2
− m
1
)g = 0.
                                                                      ¿
Ðåøåíèå. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ãðóçîâ
                                                                       q

                            m1 ż12 m2 ż22                           ÁÀ
                      T =          +        .
                             2       2
 Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U = −m1 gz1 − m2 gz2 . Èñïîëüçó-               s
 åì óñëîâèå íåðàñòÿæèìîñòè íèòè z1 + z2 = l = const, è           s    m2
                                                                   ?
 âûáåðåì â êà÷åñòâå îáîáù¼ííîé êîîðäèíàòû âåëè÷èíó             m1   z
z = z1 . Òîãäà z2 = l − z, ż2 = −ż è ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà L = T − U ïðèíèìàåò
âèä
                     m1 + m2 2
                    L=         ż + g(m1 − m2 )z + gm2 l.
                           2
                    d ∂L ∂L
Óðàâíåíèå Ëàãðàíæà          −     = 0 äà¼ò:
                   dt ∂ ż    ∂z
                                                  m1 − m2
             (m1 + m2 )z̈ + (m2 − m1 )g = 0, z̈ =         g
                                                  m1 + m2
Èíòåãðèðóåì:

                m1 − m2                      m1 − m2 t2
           ż =         gt + V0z ;        z=        g + V0z t + z0 .
                m1 + m2                      m1 + m2 2
         V0z , z0  íà÷àëüíûå ñêîðîñòü è êîîðäèíàòà ïåðâîãî ãðóçà.

Çàäà÷à 3.2. Íà îäíîì êîíöå ëåãêîé íåðàñòÿæèìîé íèòè, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç
ãëàäêèé áëîê, óêðåïëåí ãðóç ìàññû m1 . Ïî äðóãîìó êîíöó íèòè ïåðåìåùà-
åòñÿ îáåçüÿíà ìàññû m2 ïî çàêîíó s(t) îòíîñèòåëüíî íèòè. Íàéòè ôóíêöèþ
Ëàãðàíæà ñèñòåìû è çàêîí äâèæåíèÿ îáåçüÿíû îòíîñèòåëüíî Çåìëè.
                                                          m1 ż12 m2 ż22
Ðåøåíèå . Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ãðóçà è îáåçüÿíû T =              +
                                                            2          2
   Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U = −m1 gz1 − m2 gz2 . Èñïîëüçóåì óñëîâèå íåðàñ-
òÿæèìîñòè íèòè z1 + z2 + s(t) = l = const è âûáåðåì â êà÷åñòâå îáîáù¼ííîé
êîîðäèíàòû q âåëè÷èíó z = z2 . Òîãäà z1 = l − s − z , ż1 = −ṡ − ż , è ôóíêöèÿ
Ëàãðàíæà ïðèíèìàåò âèä

                  m1          2  m2 ż 2
               L=    (ṡ + ż) +         + m1 g(l − s − z) + m2 gz.
                  2               2
                            d ∂L ∂L
Èç óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà               −    = 0 èìååì:
                            dt ∂ ż   ∂z
                      m1 (z̈ + s̈) + m2 z̈ − (m2 − m1 )g = 0.


                                          22

Страницы