Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

2a
a
m
k
a
?
z
f
@
@
@
@
@
@
f
t
m
L =
m ˙z
2
2
−
k
2
³
p
a
2
+ 4z
2
− a
´
2
+ mgz
m
a
l
θ
y
L =
m
2
(l + aθ)
2
˙
θ
2
+ mg[(l + aθ) cos θ − a sin θ]
(l + aθ)
¨
θ + a
˙
θ
2
+ g sin θ = 0.
-
y
?x
ÁÀ
¿
@
@
@
@
@t
?
mg
¡
¡
θ
l
d
l
m
R ω
m
x = R cos ωt + l cos ϕ,
y = R sin ωt + l sin ϕ.
-
y
?x
H
H
H
H
R
ωt
b
@
@
@
@
@
lϕ
s
?
mg
˙x = −ωR sin ωt − l ˙ϕ sin ϕ, ˙y = Rω cos ωt + l ˙ϕ cos ϕ.
T =
m
2
( ˙x
2
+ ˙y
2
) =
m
2
£
R
2
ω
2
+ l
2
˙ϕ
2
+ 2Rωl ˙ϕ cos(ϕ − ωt)
¤
,
Çàäà÷à 3.5. Óïðóãàÿ íèòü, äëèíà êîòîðîé â íåíàïðÿ-                           a
                                                                    f                         f
æåííîì ñîñòîÿíèè 2a, ïåðåêèíóòà ÷åðåç äâà ãîðèçîí-                  @
                                                                      @
òàëüíûõ ïàðàëëåëüíûõ ñòåðæíÿ, ðàñïîëîæåííûõ íà                         @
                                                                        @
îäíîì óðîâíå íà ðàññòîÿíèè a äðóã îò äðóãà. Êîíöû                           @
                                                                            @t
                                                                                  m
íèòè ïðèêðåïëåíû ê øàðèêó ìàññû m, ñîâåðøàþùå-
ìó êîëåáàíèÿ ïî âåðòèêàëè. Íèòü ïîä÷èíåíà çàêîíó                                 z
                                                                                 ?

Ãóêà ñ êîýôôèöèåíòîì óïðóãîñòè k . Íàéòè ôóíêöèþ
Ëàãðàíæà ñèñòåìû.
            mż 2 k ³p 2        ´2
Îòâåò : L =      −    a + 4z − a + mgz .
                            2
             2     2
Çàäà÷à 3.6. Øàðèê ìàññû m ïðèêðåïëåí ê íåðàñòÿæèìîé íèòè, êîíåö êîòî-
ðîé â ñâîþ î÷åðåäü ïðèêðåïëåí ê âåðõíåé òî÷êå íåïîäâèæíîãî áëîêà ðàäèóñà
a . Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ïðè äâèæåíèè øàðèêà â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé
îñè áëîêà, íèòü îñòàåòñÿ íàòÿíóòîé è ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êîé êàñàíèÿ íè-
òè è øàðèêîì â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ ðàâíî l, íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà è
óðàâíåíèå Ëàãðàíæà.
 Óêàçàíèå. Ââåñòè îáîáù¼ííóþ êîîðäèíàòó θ  óãîë
                                                          ¿
 ìåæäó ðàäèóñîì, ïðîâåäåííûì â òî÷êó êàñàíèÿ íàòÿ-                   y
                                                             ¡θ@
                                                             ¡       -
 íóòîé íèòè ñ áëîêîì è ãîðèçîíòàëüíîé îñüþ y .                  @
            m         2 2
                                                          ÁÀ      @
 Îòâåò. L = (l + aθ) θ̇ + mg[(l + aθ) cos θ − a sin θ],         l @
            2                                                                             @t

               (l + aθ)θ̈ + aθ̇2 + g sin θ = 0.                        x    ?
                                                                                 d    mg ?

Çàäà÷à 3.7. Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ïëîñêîãî ìàÿòíèêà äëèíû l è ìàññû
m, òî÷êà ïîäâåñà êîòîðîãî äâèæåòñÿ ïî âåðòèêàëüíîé îêðóæíîñòè ðàäèóñà
R ñ ïîñòîÿííîé ÷àñòîòîé ω â ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà.
Ðåøåíèå . Êîîðäèíàòû òî÷êè m :                                                            -
                                                                H
                                                                 HHR                      y
                  x = R cos ωt + l cos ϕ,                        ωt H b
                                                                      @
                                                                           ϕ@ l
                   y = R sin ωt + l sin ϕ.                                      @
                                                                                     @
                                                                                     @s
Ïðîåêöèè ñêîðîñòè ðàâíû :                                                             ?
                                                                x
                                                                ?                     mg
           ẋ = −ωR sin ωt − lϕ̇ sin ϕ,       ẏ = Rω cos ωt + lϕ̇ cos ϕ.
Íàõîäèì êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ
                m 2              m£ 2 2                             ¤
         T =      (ẋ + ẏ 2 ) =   R ω + l2 ϕ̇2 + 2Rωlϕ̇ cos(ϕ − ωt) ,
                2                2
                                         24

Страницы