Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

l m
2
m
1
L =
m
1
+ m
2
2
˙x
2
+ m
2
l ˙ϕ
µ
l
2
˙ϕ + ˙x cos ϕ
+ m
2
gl cos ϕ
P
x
= (m
1
+ m
2
) ˙x + m
2
l ˙ϕ cos ϕ = const,
E =
m
1
+ m
2
2
˙x
2
+ m
2
l ˙ϕ
µ
l
2
˙ϕ + ˙x cos ϕ
− m
2
gl cos ϕ = const.
l
2
m
2
m
1
l
1
L =
m
1
+ m
2
2
l
2
1
˙ϕ
2
1
+
m
2
2
l
2
2
˙ϕ
2
2
+
+m
2
l
1
l
2
˙ϕ
1
˙ϕ
2
cos(ϕ
1
−ϕ
2
)+(m
1
+m
2
)gl
1
cos ϕ
1
+m
2
gl
2
cos ϕ
2
.
-
?
H
H
H
H
l
1
m
1
ϕ
1
s
@
@
@
@
@
l
2
m
2
ϕ
2
s
m
1
= m
2
= m
k l
3l
L =
m
2
( ˙x
2
1
+ ˙x
2
2
) − k(x
2
1
+ x
2
2
− x
1
x
2
);
¨x
1
+ ω
2
(2x
1
− x
2
) = 0, ¨x
2
+ ω
2
(2x
2
− x
1
) = 0,
∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨
t
m
t
m
¾ -
3l
x
1
x
2
ω
2
= k/m
a b α a
Çàäà÷à 3.11. Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà è èíòåãðàëû äâèæåíèÿ ïëîñêîãî
ìàÿòíèêà äëèíû l è ìàññû m2 , ïðèêðåïëåííîãî ê òåëó ìàññû m1 , äâèæóùå-
ìóñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé â òîé æå ïëîñêîñòè.
                               µ                ¶
            m1 + m2 2            l
Îòâåò : L =        ẋ + m2 lϕ̇     ϕ̇ + ẋ cos ϕ + m2 gl cos ϕ,
               2                 2
                    Px = (m1 + m2 )ẋ + m2 lϕ̇ cos ϕ = const,
                                  µ                ¶
               m1 + m2 2            l
            E=        ẋ + m2 lϕ̇     ϕ̇ + ẋ cos ϕ − m2 gl cos ϕ = const.
                  2                 2

Çàäà÷à 3.12. Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà äâîéíîãî ïëîñêîãî ìàÿòíèêà (òî÷-
êîé ïîäâåñà ìàÿòíèêà äëèíû l2 è ìàññû m2 ñëóæèò òî÷å÷íàÿ ìàññà m1 ìàÿò-
íèêà ñ äëèíîé l1 ).                                     H         -
                                                                       H l1
              m1 + m2 2 2 m2 2 2                                      ϕ1 HH s m1
Îòâåò: L =           l1 ϕ̇1 +   l ϕ̇ +
                 2            2 2 2                                           @
                                                                              ϕ2@ l2
                                                                                 @
+m2 l1 l2 ϕ̇1 ϕ̇2 cos(ϕ1 −ϕ2 )+(m1 +m2 )gl1 cos ϕ1 +m2 gl2 cos ϕ2 .                 @m
                                                                                    @ s 2
                                                                      ?


Çàäà÷à 3.13. Ñîñòàâèòü ôóíêöèþ Ëàãðàíæà è ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ äâèæå-
íèÿ äëÿ ñèñòåìû äâóõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ ìàññàìè m1 = m2 = m, ñîåäè-
íåííûõ ïðóæèíàìè ìåæäó ñîáîé è ñ íåïîäâèæíûìè ñòåíêàìè è äâèæóùèõñÿ
òîëüêî ïî ãîðèçîíòàëè. Âñå òðè ïðóæèíû èìåþò îäèíàêîâûé êîýôôèöèåíò
óïðóãîñòè k è îäèíàêîâóþ äëèíó l â íåíàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè, ðàññòîÿíèå
ìåæäó ñòåíêàìè ðàâíî 3l.
            m
 Îòâåò. L = (ẋ21 + ẋ22 ) − k(x21 + x22 − x1 x2 ); /     t     t
                                                    /∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨
                                                                     /
                                                                     /
               2                                          /
                                                          /      m        m       /
                                                                                  /
ẍ1 + ω 2 (2x1 − x2 ) = 0, ẍ2 + ω 2 (2x2 − x1 ) = 0,     /¾
                                                          3l
                                                          /
                                                                                 -/
                                                                                  /
ãäå x1 , x2  ñìåùåíèÿ ïåðâîé è âòîðîé òî÷åê îòíîñèòåëüíî ïîëîæåíèÿ ðàâ-
íîâåñèÿ, ω 2 = k/m .

Çàäà÷à 3.14. Ïîëó÷èòü ôóíêöèþ Ëàãðàíæà è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ êî-
ëåáàíèé òî÷êè ïî ðàñïîëîæåííîìó â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè íàêëîííîìó
ýëëèïñó ñ ïîëóîñÿìè a è b è óãëîì α ìåæäó ïîëóîñüþ a è âåðòèêàëüþ.




                                           26

Страницы