Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 28 стр.

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ВГУ | Воронеж

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x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1.
ϕ
x = a cos ϕ, y = b sin ϕ.
T
=
m
2
( ˙
x
2
+ ˙
y
2
) =
m
2
(
a
2
sin
2
ϕ
+
b
2
cos
2
ϕ
) ˙
ϕ
2
.
¡
¡
¡
¡
¡
¡
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¡
¡
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¡
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¡ª
x
a
b
@
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@
@
@
@
@
@R
y
J
J
J
J
J
J
J^
r
t
?
mg
α
U = −m(gr) = −mg
x
a cos ϕ − mg
y
b sin ϕ.
g
x
= g cos α g
y
= g sin α
U = −mg(a cos ϕ cos α + b sin ϕ sin α) =
= −
mg
2
[(a + b) cos(ϕ − α ) + (a − b) cos(ϕ + α)].
L L = T − U =
m
2
(a
2
sin
2
ϕ + b
2
cos
2
ϕ) ˙ϕ
2
+
+
mg
2
[(a + b) cos(ϕ − α ) + (a − b) cos(ϕ + α)] .
d
dt
∂L
∂ ˙q
i
−
∂L
∂q
i
= 0
(a
2
sin
2
ϕ + b
2
cos
2
ϕ) ¨ϕ +
a
2
− b
2
2
˙ϕ
2
sin 2ϕ+
+
g
2
[(a + b) sin(ϕ − α) + (a − b) sin(ϕ + α)] = 0.
α
-
x
6
y
α
t
@
@
@
@
¡
¡
¡ª
¡
¡
¡µ
s
y
2
m
x
1
x
2
Ðåøåíèå . Óðàâíåíèå ýëëèïñà
                                                     @
                     2       2                        @                      ¡
                  x   y                                   @               ¡
                    +   = 1.                               @             ¡
                  a2 b2                                       @       ¡
                                                               @    ¡a
 êà÷åñòâå îáîáù¼ííîé êîîðäèíàòû âîçüì¼ì                         @¡
                                                                 ¡@
                                                                  J
âåëè÷èíó ϕ , îïðåäåëÿåìóþ ðàâåíñòâàìè                           ¡ J @
                                                               ¡α    J@ b
                                                             ¡        J@
           x = a cos ϕ,          y = b sin ϕ.              ¡           J @
                                                          ¡
                                                         ªx
                                                         ¡              J @
                                                                        r J^ t @   y
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ                                                             @
                                                                                 @
                                                                                 R
                                                                       mg ?
    m               m
 T = (ẋ2 + ẏ 2 ) = (a2 sin2 ϕ + b2 cos2 ϕ)ϕ̇2 .
    2               2
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà
                  U = −m(gr) = −mgx a cos ϕ − mgy b sin ϕ.
È, òàê êàê gx = g cos α,         gy = g sin α, òî
                 U = −mg(a cos ϕ cos α + b sin ϕ sin α) =
                  mg
             =−       [(a + b) cos(ϕ − α) + (a − b) cos(ϕ + α)].
                   2
                             m
Äëÿ L èìååì: L = T − U = (a2 sin2 ϕ + b2 cos2 ϕ)ϕ̇2 +
                             2
                mg
              +     [(a + b) cos(ϕ − α) + (a − b) cos(ϕ + α)] .
                 2
                      d ∂L ∂L
Óðàâíåíèå Ëàãðàíæà           −     = 0 èìåò âèä:
                     dt ∂ q̇i ∂qi

      2    2     2       2  a2 − b2 2
    (a sin ϕ + b cos ϕ)ϕ̈ +        ϕ̇ sin 2ϕ+
                               2
                             g
                          + [(a + b) sin(ϕ − α) + (a − b) sin(ϕ + α)] = 0.
                             2

Çàäà÷à 3.15. Ïî íàêëîííîé ïîâåðõíîñòè áðóñêà ìàñ-                 y
                                                                  6
ñû M ñêîëüçèò áåç òðåíèÿ òåëî ìàññû m. Áðóñîê ñàì                    m
                                                                    @ t
                                                     y2            µ
                                                                   ¡
ìîæåò äâèãàòüñÿ ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíî-               ¡
                                                                ¡
ñòè áåç òðåíèÿ. Íàêëîííàÿ ïîâåðõíîñòü áðóñêà ñîñòàâ-          s
                                                            ¡
ëÿåò óãîë α ñ ãîðèçîíòîì. Íà÷àëüíûå ñêîðîñòè áðóñêà       ¡ Áðóñîê
                                                        ª α
                                                        ¡
è òåëà ðàâíû íóëþ. Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ áðóñêà è        @               -
                                                      0  x1          x2 x
òåëà.

                                                27

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