Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

x s x s
m
x
1
= x y
1
= 0 x
2
= x + s cos α, y
2
= s sin α
T =
M
2
˙x
2
1
+
m
2
( ˙x
2
2
+ ˙y
2
2
) =
M
2
˙x
2
+
m
2
¡
˙x
2
+ 2 ˙x ˙s cos α + ˙s
2
¢
.
U = mgy
2
= mgs sin α
L =
M
2
˙x
2
+
m
2
¡
˙x
2
+ 2 ˙x ˙s cos α + ˙s
2
¢
− mgs sin α.
d
dt
∂L
∂ ˙x
−
∂L
∂x
= 0,
d
dt
∂L
∂ ˙s
−
∂L
∂s
= 0
(M + m)¨x + m¨s cos α = 0,
m¨x cos α + m¨s + mg sin α = 0.
¨x ¨s
¨x =
mg sin α cos α
M + m sin
2
α
, ¨s = −
M + m
M + m sin
2
α
g sin α.
˙x =
mg sin α cos α
M + m sin
2
α
t, ˙s = −
M + m
M + m sin
2
α
gt sin α,
x =
mg sin α cos α
M + m sin
2
α
t
2
2
+ x
0
, s = −
M + m
M + m sin
2
α
g
t
2
2
sin α + s
0
.
t = 0
x(0) = x
0
, s(0) = s
0
, ˙x(0) = 0, ˙s(0) = 0.
x(t), s(t) x
2
y
2
x(t) s(t)
m
x = a(u − sin u), y = −a(1 − cos u), 0 6 u 6 2π
y
t = 0 y = −2a, |v| = v
0
.
6
y
-
x
0
2πa
−2a
s
m
Ðåøåíèå . Ñèñòåìà èìååò 2 ñòåïåíè ñâîáîäû. Ââåä¼ì îáîáù¼ííûå êîîðäèíàòû
x è s : x  äåêàðòîâà êîîðäèíàòà íèæíåãî îñòðîãî óãëà áðóñêà (òî÷êà 1), s
 ðàññòîÿíèå îò òåëà m (òî÷êà 2) äî òî÷êè 1. Òîãäà äåêàðòîâû êîîðäèíàòû
òî÷êè 1: x1 = x, y1 = 0; òî÷êè 2: x2 = x + s cos α, y2 = s sin α. Êèíåòè÷åñêàÿ
ýíåðãèÿ
            M 2 m 2                  M         m¡ 2                       ¢
          T =  ẋ1 + (ẋ2 + ẏ22 ) = ẋ2 +          ẋ + 2ẋṡ cos α + ṡ2 .
             2       2               2          2
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U = mgy2 = mgs sin α.
Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà
                   M       m¡ 2                       ¢
            L = ẋ2 +          ẋ + 2ẋṡ cos α + ṡ2 − mgs sin α.
                   2        2
                      d ∂L ∂L              d ∂L ∂L
Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà           −      = 0,           −     = 0 ïðèìóò âèä:
                     dt ∂ ẋ    ∂x         dt ∂ ṡ    ∂s
                        (M + m)ẍ + ms̈ cos α = 0,
                            mẍ cos α + ms̈ + mg sin α = 0.
Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî ẍ, s̈ íàõîäèì:
                 mg sin α cos α            M +m
                ẍ =            , s̈ = −              g sin α.
                 M + m sin2 α            M + m sin2 α
Èíòåãðèðóåì (íàõîäèì ïåðâîîáðàçíóþ) äâàæäû:
                       mg sin α cos α                 M +m
                ẋ =                  t,   ṡ = −                gt sin α,
                       M + m sin2 α                 M + m sin2 α
           mg sin α cos α t2                M +m       t2
       x=                    + x0 , s = −             g sin α + s0 .
           M + m sin2 α 2                 M + m sin2 α 2
Ïðè ýòîì ó÷òåíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ( ïðè t = 0 ) :
                       x(0) = x0 , s(0) = s0 , ẋ(0) = 0, ṡ(0) = 0.
Ôóíêöèè x(t), s(t) è åñòü èñêîìûé çàêîí äâèæåíèÿ. Âûðàçèâ x2 è y2 ÷åðåç
x(t), s(t), ìîæíî ïîëó÷èòü çàêîí äâèæåíèÿ â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ.
 Çàäà÷à 3.16. Òî÷êà ìàññû m äâèæåòñÿ ïî ãëàäêîé                        y
                                                                       6
 öèêëîèäå, óðàâíåíèå êîòîðîé â ïàðàìåòðè÷åñêîì âè-                             2πa
                                                                                   -
 äå:                                                               0                 x
                                                                               s
 x = a(u − sin u), y = −a(1 − cos u), 0 6 u 6 2π −2a                           m
 (îñü y íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî ââåðõ). Íàéòè ôóíê-
 öèþ Ëàãðàíæà, ïåðâûé èíòåãðàë è çàêîí äâèæåíèÿ
 òî÷êè, åñëè ïðè t = 0 y = −2a, |v| = v0 .

                                            28

Страницы