Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

U(r)
r = |r|
F = −grad U(r) = −
r
r
dU
dr
r
M = [r × F] = 0,
L = [r × p] = const.
L (r, ϕ)
L =
m
2
( ˙r
2
+ r
2
˙ϕ
2
) − U(r).
ϕ
L =
∂L
∂ ˙ϕ
= mr
2
˙ϕ = const.
m
2
( ˙r
2
+ r
2
˙ϕ
2
) + U(r) = E = const.
˙ϕ
˙ϕ =
L
mr
2
,
˙r,
˙r = ±
r
2
m
[E − U(r)] −
L
2
m
2
r
2
˙r > 0 ˙r < 0
4 Öåíòðàëüíîå ïîëå è ðàññåÿíèå ÷àñòèö
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â öåíòðàëüíîì ïîëå U (r) çàâèñèò òîëüêî îò
ðàññòîÿíèÿ å¼ äî öåíòðà ïîëÿ, r = |r|. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèëà
                                                       r dU
                            F = − grad U (r) = −
                                                       r dr
íàïðàâëåíà ïî ðàäèóñ-âåêòîðó r è èìååò íóëåâîé ìîìåíò îòíîñèòåëüíî öåíòðà
ïîëÿ,
                                    M = [r × F] = 0,
÷òî ïðèâîäèò ê ñîõðàíåíèþ ìîìåíòà èìïóëüñà

                               L = [r × p] = const.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â îäíîé è òîé æå ïëîñêîñòè, ïåðïåíäè-
êóëÿðíîé âåêòîðó L. Ââîäÿ â ýòîé ïëîñêîñòè ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû (r, ϕ),
ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ëàãðàíæà â âèäå:
                                    m 2
                            L=        (ṙ + r2 ϕ̇2 ) − U (r).
                                    2
Öèêëè÷íîñòü êîîðäèíàòû ϕ ñîîòâåòñòâóåò ñîõðàíåíèþ ìîìåíòà èìïóëüñà
           ∂L
    L=          = mr2 ϕ̇ = const.                                   (4.1)
           ∂ ϕ̇
Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ è óðàâíåíèå òðàåêòîðèè ÷àñòèöû ñëåäóþò èç çàêîíà
ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè
    m 2
      (ṙ + r2 ϕ̇2 ) + U (r) = E = const.                           (4.2)
    2
Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà ϕ̇ èç (4.1)
            L
    ϕ̇ =       ,                                                    (4.3)
           mr2
è ðàçðåøàÿ óðàâíåíèå (4.2) îòíîñèòåëüíî ṙ, ïîëó÷àåì:
            r
                2               L2
    ṙ = ±        [E − U (r)] − 2 2                                 (4.4)
                m              mr
Âûáîð çíàêà ïåðåä ðàäèêàëîì îïðåäåëÿåòñÿ íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ ÷àñòè-
öû (ṙ > 0 ñîîòâåòñòâóåò óäàëåíèþ îò öåíòðà, ṙ < 0  ïðèáëèæåíèþ ÷àñòèöû
ê öåíòðó). Èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (4.4) îïðåäåëÿåò çàêîí ðàäèàëüíîãî äâèæåíèÿ

                                            30

Страницы