Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

T =
m
2
¡
˙x
2
+ ˙y
2
¢
, U = mgy. u
˙x = a(1 − cos u) ˙u, ˙y = −a ˙u sin u
L = T − U =
ma
2
2
˙u
2
£
(1 − cos u)
2
+ sin
2
u
¤
+ mga(1 − cos u) =
= ma ˙u
2
(1 − cos u) + mga(1 − cos u).
u
L u/2
L = 2ma ˙u
2
sin
2
u
2
+ 2mga sin
2
u
2
= 8ma
2
·
d(cos
u
2
)
dt
¸
2
+ 2mga
³
1 − cos
2
u
2
´
.
s = cos
u
2
4a
L = 8ma
2
˙s
2
+ 2mga(1 − s
2
).
¨s +
g
4a
s = 0
s = A cos(ωt + α),
ω =
p
g/4a A α
˙s(0) = 0 s
0
s = 0 τ = π
p
a/g
s
0
α = π/2, |A| = v
0
/
p
4ag
A t =
0
E = ˙s
∂L
∂ ˙s
− L = 8ma
2
˙s
2
− 2mga(1 − s
2
) =
mv
2
0
2
− 2mga.
                 m¡ 2         ¢
Ðåøåíèå . T =        ẋ + ẏ 2 , U = mgy. Ïåðåõîäÿ ê ïåðåìåííîé u, èìååì:
                  2
ẋ = a(1 − cos u)u̇, ẏ = −au̇ sin u ,

                   ma2 2 £                    ¤
    L=T −U =          u̇ (1 − cos u)2 + sin2 u + mga(1 − cos u) =
                    2
                                      = mau̇2 (1 − cos u) + mga(1 − cos u).
Åñëè èñïîëüçîâàòü u â êà÷åñòâå îáîáù¼ííîé êîîðäèíàòû, òî ëåãêî óáåäèòüñÿ,
÷òî óðàâíåíèå Ëàãðàíæà ïîëó÷èòñÿ íåëèíåéíûì è äîâîëüíî ñëîæíûì äëÿ
ðåøåíèÿ. Îäíàêî L ìîæíî ïåðåïèñàòü ÷åðåç ïîëîâèííûé óãîë u/2 :
                                       ·       u ¸2       ³            ´
           2   2 u         2 u       2   d(cos 2)                  2 u
  L = 2mau̇ sin + 2mga sin     = 8ma                + 2mga 1 − cos       .
                 2           2              dt                       2
                                               u
Ââåä¼ì íîâóþ îáîáù¼ííóþ êîîðäèíàòó s = cos , êîòîðàÿ åñòü äëèíà äóãè
                                               2
öèêëîèäû ñî çíàêîì, îòñ÷èòàííàÿ îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ è äåë¼ííàÿ íà
4a (ïîêàæèòå ýòî!). Òîãäà
                         L = 8ma2 ṡ2 + 2mga(1 − s2 ).
Óðàâíåíèå Ëàãðàíæà ïðèíèìàåò âèä:
                                         g
                                 s̈ +      s=0
                                        4a
è èìååò ðåøåíèå
                              s = A cos(ωt + α),
        p
ãäå ω = g/4a , A è α  êîíñòàíòû, ò.å. èìååì ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå.
   Èç âèäà ðåøåíèÿ ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî åñëè íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè ðàâíà
íóëþ ( ṡ(0) = 0 ), òî âðåìÿ äâèæåíèÿ îò êðàéíåé òî÷êè òðàåêòîðèè s0 äîpïîëî-
æåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ( ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ ñîîòâåòñòâóåò s = 0) τ = π a/g è
íå çàâèñèò îò s0 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïåðèîä êîëåáàíèé â ýòîì ñëó÷àå íå çàâèñèò
îò àìïëèòóäû. Òàêîå äâèæåíèå íàçûâàþò èçîõðîííûì, à ñîîòâåòñòâóþùóþ
òðàåêòîðèè êðèâóþ (öèêëîèäó)  èçîõðîíîé.                p
   Èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé íàõîäèì α = π/2, |A| = v0 / 4ag (ïðîäåëàòü ýòî
ñàìîñòîÿòåëüíî!), çíàê A îïðåäåëÿåòñÿ íàïðàâëåíèåì ñêîðîñòè â ìîìåíò t =
0.
   Òàê êàê ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè, òî èíòåãðàëîì
äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ýíåðãèÿ (3.11):
                   ∂L            2 2             2    mv02
            E = ṡ      − L = 8ma ṡ − 2mga(1 − s ) =      − 2mga.
                   ∂ ṡ                                2

                                        29

Страницы