Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

U = −mgx = −mRg cos ωt − mgl cos ϕ,
L = T − U
L =
m
2
£
R
2
ω
2
+ l
2
˙ϕ
2
+ 2Rωl ˙ϕ cos(ϕ − ωt)
¤
+ mgR cos ωt + mgl cos ϕ.
2Rωl ˙ϕ cos(ϕ − ωt)
2Rωl
d
dt
sin(ϕ − ωt) + 2Rω
2
l cos(ϕ − ωt)
L =
ml
2
˙ϕ
2
2
+ mRlω
2
cos(ϕ − ωt) + mgl cos ϕ.
s(t)
¨
θ +
µ
g
l
+
¨s
l
sin θ = 0
l(t)
¨
θ +
2
l
˙
θ
˙
l +
g
l
sin θ = 0.
k
l
X x
L =
M
2
˙
X
2
+
µ
2
˙x
2
−
k
2
(x − l)
2
M = m
1
+m
2
µ =
m
1
m
2
m
1
+ m
2
, E =
M
2
˙
X
2
+
µ
2
˙x
2
+
k
2
(x−l)
2
= const
P
X
= M
˙
X = const
ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ

                        U = −mgx = −mRg cos ωt − mgl cos ϕ,

è ôóíêöèþ Ëàãðàíæà L = T − U
          m£ 2 2                             ¤
     L=     R ω + l2 ϕ̇2 + 2Rωlϕ̇ cos(ϕ − ωt) + mgR cos ωt + mgl cos ϕ.
          2
Ïðåäñòàâëÿÿ ñëàãàåìîå 2Rωlϕ̇ cos(ϕ − ωt) êàê
                       d
                          sin(ϕ − ωt) + 2Rω 2 l cos(ϕ − ωt)
                        2Rωl
                       dt
è îïóñêàÿ çàòåì ñëàãàåìûå, ÿâëÿþùèåñÿ ïîëíûìè ïðîèçâîäíûìè ïî âðåìåíè,
â òîì ÷èñëå ïîñòîÿííûå è çàâèñÿùèå òîëüêî îò âðåìåíè ñëàãàåìûå, ôóíêöèþ
Ëàãðàíæà ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàêæå â âèäå
                        ml2 ϕ̇2
                     L=         + mRlω 2 cos(ϕ − ωt) + mgl cos ϕ.
                          2

Çàäà÷à 3.8. Âåðòèêàëüíàÿ êîîðäèíàòà (âûñîòà) òî÷êè ïîäâåñà ìàòåìàòè÷å-
ñêîãî ìàÿòíèêà, êîëåáëþùåãîñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè, èçìåíÿåòñÿ âî
âðåìåíè ïî çàêîíó s(t) . Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà è óðàâíåíèå äâèæåíèÿ
ìàÿòíèêà. µ       ¶
                   g s̈
Îòâåò : θ̈ +         +   sin θ = 0.
                   l   l
Çàäà÷à 3.9. Äëèíà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà, êîëåáëþùåãîñÿ â îäíîðîä-
íîì ïîëå òÿæåñòè, èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó l(t) . Ïîëó÷èòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ
ìàÿòíèêà.
               2       g
Îòâåò : θ̈ + θ̇l˙ +      sin θ = 0.
               l       l
Çàäà÷à 3.10. Äâà øàðèêà, ñîåäèíåííûå ïðóæèíîé ñ æåñòêîñòüþ k , ïîä÷èíÿ-
þùåéñÿ çàêîíó Ãóêà, äâèæóòñÿ âäîëü ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé. Íàéòè
ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ñèñòåìû è èíòåãðàëû äâèæåíèÿ.
Óêàçàíèå : Ââåñòè äëèíó ïðóæèíû l â íåíàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè, èñïîëüçî-
      âàòü êîîðäèíàòó öåíòðà òÿæåñòè X è îòíîñèòåëüíîå ðàññòîÿíèå x.
            M 2 µ 2 k
Îòâåò : L =   Ẋ + ẋ − (x − l)2 ,
            2       2      2
                              m1 m2       M      µ     k
       ãäå M = m1 + m2 , µ =         , E = Ẋ 2 + ẋ2 + (x − l)2 = const,
                             m1 + m2      2      2     2
       PX = M Ẋ = const.

                                          25

Страницы