Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

L
∂L
∂t
= 0
dE
dt
= 0
E = const
L q
i
∂L
∂q
i
= 0
d
dt
∂L
∂ ˙q
i
= 0,
∂L
∂ ˙q
i
≡ p
i
= const,
p
i
q
i
s
q
1
q
s
q
i
˙q
i
T U
q
i
˙q
i
C
i
C
i
2s
§§ §§ §§
§ §§ §§
m
1
m
2
l
                                     ∂L            dE
Åñëè L íå çàâèñèò îò âðåìåíè ÿâíî (ò.å.  = 0 ), òî    = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,
                                     ∂t            dt
âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè E = const.
                                                 ∂L
  Åñëè L íå çàâèñèò ÿâíî îò êîîðäèíàòû qi (ò.å.      = 0 ), òî òàêàÿ êîîðäè-
                                                 ∂qi
íàòà íàçûâàåòñÿ öèêëè÷åñêîé è èç (3.4) ñëåäóåò
     d ∂L            ∂L
              = 0,         ≡ pi = const,                                    (3.12)
     dt ∂ q̇i        ∂ q̇i
ãäå pi  îáîáù¼ííûé èìïóëüñ, ñîîòâåòñòâóþùèé êîîðäèíàòå qi . Ñîîòíîøå-
íèÿ (3.11), (3.12) ïîçâîëÿþò íàéòè ñîõðàíÿþùèåñÿ âî âðåìåíè âåëè÷èíû 
èíòåãðàëû äâèæåíèÿ  â ëàãðàíæåâîì ôîðìàëèçìå.
   Òàêèì îáðàçîì, îáùàÿ ñõåìà ðåøåíèÿ ëþáîé ìåõàíè÷åñêîé çàäà÷è â ëà-
ãðàíæåâîì ôîðìàëèçìå ñëåäóþùàÿ:

  1. Èñõîäÿ èç óñëîâèé çàäà÷è, íàëè÷èÿ ñâÿçåé (åñëè òàêîâûå èìåþòñÿ) îïðå-
     äåëÿåòñÿ ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû s ñèñòåìû.

  2. Ñ ó÷åòîì ñèììåòðèè ñèëîâûõ ïîëåé è õàðàêòåðà ñâÿçåé âûáèðàåòñÿ íàè-
     áîëåå óäîáíàÿ äëÿ äàííîé çàäà÷è ñèñòåìà îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò q1 ,. . . ,
     qs , óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñôîðìóëèðîâàííûì â íà÷àëå ðàçäåëà óñëîâèÿì à)
     è á).

  3. Ñîñòàâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà (3.5) êàê ôóíêöèÿ ïåðåìåííûõ qi , q̇i .
     Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóþòñÿ ôîðìóëû (3.6) äëÿ T è U è ôîðìóëû (3.3) è
     (3.7) äëÿ âûðàæåíèÿ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé ÷åðåç qi , q̇i .

  4. Çàïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà (3.4) äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è
     è çàòåì èíòåãðèðóþòñÿ êàêèì-ëèáî ìåòîäîì â îáùåì (ò.å. ñîäåðæàùåì
     ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå Ci ) âèäå.

   Ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ Ci (èõ âñåãî 2s øòóê) îïðåäåëÿþòñÿ ïîñòîÿí-
íûìè äëÿ äàííîé çàäà÷è âåëè÷èíàìè (íàïðèìåð, íà÷àëüíûìè êîîðäèíàòàìè
è ñêîðîñòÿìè).
   Ðåêîìåíäóåìàÿ ëèòåðàòóðà : [1, §§ 8-14,17,18] ; [2, §§ 26-29]; [5, Ãë.1, §§ 4-8,
Ãë.2, § 11] ; [6, Ãë.1, §§ 1-5, Ãë.2,§§ 6-9] .

                               Çàäà÷è ê ãëàâå 3
Çàäà÷à 3.1. Äâå òî÷êè ìàññàìè m1 è m2 ñîåäèíåíû ãëàäêîé íåðàñòÿæèìîé
íèòüþ äëèíû l, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç áëîê ïðåíåáðåæèìî ìàëîé ìàññû (ìàøèíà
Àòâóäà). Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà è çàêîí äâèæåíèÿ ãðóçîâ.

                                           21

Страницы