Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

U(r) =
½
0, r 6 a
∞, r > a.
r = r
max
= a
r = r
min
= L/p p =
√
2mE
r r
min
a ( ˙r > 0)
x = L/r
ϕ(r) =
r
Z
r
min
(L/r
2
)dr
p
2mE − L
2
/r
2
= −
L/r
Z
L/r
min
dx
p
p
2
− x
2
= arccos
r
min
r
.
r
r = r
min
/ cos ϕ, a > r > r
min
.
∆ϕ
0
= 2 arccos
r
min
a
= 2 arccos
L
ap
.
∆ϕ
0
= 2π/n n
a r
min
.
U(r) =
½
−U
0
, 0 6 r 6 a
0, r > a
L
∆ϕ
0
                                Çàäà÷è ê ãëàâå 4
Çàäà÷à 4.1. Îïðåäåëèòü òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû â öåíòðàëüíîì ïîëå
âèäà ( ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà áåñêî-
íå÷íîé ãëóáèíû) :              ½
                                               0, r 6 a
                                U (r) =
                                              ∞, r > a.
Ðåøåíèå . Ò. ê. òðàåêòîðèÿ ñèììåòðè÷íà
                             √         îòíîñèòåëüíî òî÷åê r = rmax = a
è r = rmin = L/p, ãäå p = 2mE , äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ó÷àñòîê, ãäå
r èçìåíÿåòñÿ îò rmin äî a (ṙ > 0). Èç óðàâíåíèÿ òðàåêòîðèè (4.6), ïîñëå
çàìåíû ïåðåìåííîé x = L/r, èìååì:

                 Zr                                ZL/r
                           (L/r2 )dr                           dx                   rmin
       ϕ(r) =          p                    =−            p              = arccos        .
                        2mE − L2 /r2                          p 2 − x2               r
                rmin                            L/rmin

Ðàçðåøàÿ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî r, ïîëó÷èì:

                            r = rmin / cos ϕ,      a > r > rmin .

Óãîë ïîâîðîòà ïåðèãåëèÿ (àôåëèÿ) îðáèòû:
                                             rmin           L
                           ∆ϕ0 = 2 arccos         = 2 arccos .
                                              a             ap
Ïðè ∆ϕ0 = 2π/n òðàåêòîðèÿ çàìêíóòà è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðàâèëüíûé n-
óãîëüíèê.  îáùåì æå ñëó÷àå îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëîìàíóþ ëèíèþ, âïè-
ñàííóþ â îêðóæíîñòü ðàäèóñà a è êàñàþùóþñÿ îêðóæíîñòè ðàäèóñà rmin .

Çàäà÷à 4.2. ×àñòèöà äâèæåòñÿ â öåíòðàëüíîì ïîëå âèäà (ñôåðè÷åñêàÿ ÿìà):
                                        ½
                                            −U0 , 0 6 r 6 a
                              U (r) =
                                              0, r > a
ñ ìîìåíòîì èìïóëüñà L îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò.

 1. Îïðåäåëèòü òðàåêòîðèþ ôèíèòíîãî äâèæåíèÿ è óãîë ïîâîðîòà ïåðèãå-
    ëèÿ (àôåëèÿ) ∆ϕ0 .
 2. Óêàçàòü çíà÷åíèÿ ýíåðãèè ÷àñòèöû Å, ïðè êîòîðûõ òðàåêòîðèÿ çàìêíó-
    òà.
 3. Íàéòè çàêîí è òðàåêòîðèþ èíôèíèòíîãî äâèæåíèÿ.

                                              34

Страницы