Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

θ
˙x = a
˙
θ
I
3
L =
3
4
m ˙x
2
+ mgx sin α
¨x =
2
3
g sin α.
l
ϕ
ϕ
U = −mgl cos ϕ ≈ −mgl +
1
2
mglϕ
2
.
T =
1
2
mv
2
+
1
2
X
I
i
Ω
2
i
,
-r
?
@
@
@
@
@
r
ϕ
l
v = l ˙ϕ Ω
i
α, β, γ
α, β, γ
L =
1
2
ml
2
˙ϕ
2
+
1
2
¡
I
1
cos
2
α + I
2
cos
2
β + I
3
cos
2
γ
¢
˙ϕ
2
−
1
2
mglϕ
2
.
ω
2
=
mgl
ml
2
+ I
1
cos
2
α + I
2
cos
2
β + I
3
cos
2
γ
.
ãäå θ  ïîëíûé óãîë ïîâîðîòà öèëèíäðà. Òàê êàê öèëèíäð êàòèòñÿ áåç
ïðîñêàëüçûâàíèÿ, òî ẋ = aθ̇.
Ïîäñòàâëÿÿ I3 èç çàäà÷è 5.2â, ïîëó÷àåì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà
                               3
                            L = mẋ2 + mgx sin α
                               4
è óðàâíåíèå äâèæåíèÿ
                                      2
                                  ẍ = g sin α.
                                      3

Çàäà÷à 5.4. Îïðåäåëèòü ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà (
òâåðäîå òåëî, êà÷àþùååñÿ â ïîëå òÿæåñòè âîêðóã íåïîäâèæíîé ãîðèçîíòàëü-
íîé îñè).
Ðåøåíèå . Ïóñòü l  ðàññòîÿíèå îò öåíòðà èíåðöèè äî îñè âðàùåíèÿ. Îáîá-
ù¼ííàÿ êîîðäèíàòà  óãîë ϕ ìåæäó âåðòèêàëüþ è ïåðïåíäèêóëÿðîì, îïó-
ùåííûì èç öåíòðà èíåðöèè íà îñü âðàùåíèÿ.
 Ñ÷èòàÿ óãîë ϕ ìàëûì, íàõîäèì ïîòåíöèàëü-
 íóþ ýíåðãèþ â âèäå
                                                             r           -
                            1                                @
     U = −mgl cos ϕ ≈ −mgl + mglϕ2 .                         ϕ@ l
                            2                                    @
                                                                    @
                                                                    @r
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìàÿòíèêà
               1 2 1X
            T = mv +   Ii Ω2i ,
               2     2
                                                             ?

ãäå v = lϕ̇  ñêîðîñòü öåíòðà èíåðöèè, Ωi  ïðîåêöèè óãëîâîé ñêîðîñòè
íà ãëàâíûå îñè èíåðöèè. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç α, β, γ óãëû ìåæäó íàïðàâëå-
íèåì ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè è îñüþ âðàùåíèÿ (α, β, γ íå ìåíÿþòñÿ ïðè
êîëåáàíèÿõ! ), íàõîäèì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà
          1          1¡                                 ¢     1
       L = ml2 ϕ̇2 +   I1 cos2 α + I2 cos2 β + I3 cos2 γ ϕ̇2 − mglϕ2 .
          2          2                                        2
Îòñþäà äëÿ ÷àñòîòû êîëåáàíèé ïîëó÷àåì
                                         mgl
                 ω2 =                                           .
                        ml2 + I1 cos2 α + I2 cos2 β + I3 cos2 γ

Çàäà÷à 5.5. Íàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé îäíîðîäíîãî ïîëóøàðà, íàõî-
äÿùåãîñÿ:

                                        45

Страницы