Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

3
8
R
m
I =
2
5
mR
2
− m
µ
3
8
R
2
=
83
320
mR
2
.
ϕ Z
c
=
R(1 −3/8 cos ϕ)
L =
1
2
m
˙
Z
2
c
+
1
2
I ˙ϕ
2
− mgZ
c
L =
1
2
I ˙ϕ
2
−
3
16
mgRϕ
2
.
?
r
Z
c
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
/ / / / / / / / / / / / / /
ϕ
R
ω =
r
120g
83R
;
ω =
r
15g
26R
.
T =
ml
2
3
(1 + 3 sin
2
ϕ) ˙ϕ
2
.
#
#
#
#
#
#
#
c
c
c
c
c
c
c
c
c
/
/
/
/
/
/
/
/
/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /
ϕ
l l
R
T =
3
4
m(R − a)
2
˙ϕ
2
.
&%
'$
¡
¡
¡
¡
¡
@
@
@
@
@R
B
BM
a
ϕ
R
à) íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè;
á) íà àáñîëþòíî øåðîõîâàòîé ïîâåðõíîñòè.
Ðåøåíèå .
                                                         3
à) Öåíòð èíåðöèè ðàñïîëîæåí íà îñè ïîëóøàðà íà ðàññòîÿíèè R îò öåíòðà
                                                                        8
øàðà. Ñîãëàñíî òåîðåìå Øòåéíåðà ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé
îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè ñèììåòðèè ( m  ìàññà ïîëóøàðà )
                                 µ ¶2
                         2  2     3     83
                      I = mR − m    R =     mR2 .
                         5        8     320
Òàê êàê ïîâåðõíîñòü èäåàëüíàÿ, öåíòð èíåðöèè ïðè êîëåáàíèÿõ ìîæåò äâè-
ãàòüñÿ òîëüêî ïî âåðòèêàëè. Ïóñòü ϕ  óãîë ïîâîðîòà ïîëóøàðà, Zc =
R(1 − 3/8 cos ϕ)  âûñîòà öåíòðà èíåðöèè íàä ïëîñêîñòüþ. Ôóíêöèÿ Ëàãðàí-
æà ñèñòåìû

            1       1
        L = mŻc2 + I ϕ̇2 − mgZc                  @
            2       2
                                                         @
ïðè ìàëûõ êîëåáàíèÿõ ïðèíèìàåò âèä
                                                         ϕ@r
                  1       3                            R     @
               L = I ϕ̇2 − mgRϕ2 .                         Zc @
                  2       16                         ?      @
                                               //////////////
                                  r
                                      120g
Îòñþäà ÷àñòîòà êîëåáàíèé ω =               ;
         r                            83R
             15g
á) ω =           .
             26R

Çàäà÷à 5.6. Íàéòè êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ äâóõ-      /
                                                  /
                                                                    #c
                                                                        c

çâåííîãî øàðíèðà, èçîáðàæ¼ííîãî íà ðèñóíêå.
                                                  /
                                                  /            l#          c l
                                                                              c
                                                  /           #
                                                            #                    c
            ml2
                                                  /
                                                  /      #ϕ                        c
Îòâåò : T =     (1 + 3 sin2 ϕ)ϕ̇2 .               /   c#                              cc
             3                                         / / / / / / / / / / / / / / / / / / /   / /




Çàäà÷à 5.7. Íàéòè êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ îäíî-
                                                           '$    ¡@
ðîäíîãî öèëèíäðà, êàòÿùåãîñÿ ïî âíóòðåííåé ñòî-             B
                                                            M   ¡ϕ @ R
                                                           aB ¡     @
ðîíå öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ðàäèóñà R.                  ¡         @
                                                           ¡           R
                                                                       @
                3                                          &%
Îòâåò : T = m(R − a)2 ϕ̇2 .
                4
Çàäà÷à 5.8. Íàéòè êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ îäíîðîäíîãî êîíóñà, êàòÿùåãîñÿ
ïî ïëîñêîñòè.

                                         46

Страницы