Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
V = a ˙ϕ cos α α a
Ω =
V
a sin α
= ˙ϕ ctg α.
A
O
:
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
a
¢
¢
¢®
x
-
y
6
z
ϕ
Ω
Ω sin α Ω cos α
T =
ma
2
2
cos
2
α
˙
ϕ
2
+
1
2
µ
I
1
cos
2
α + I
3
cos
4
α
sin
2
α
˙
ϕ
2
=
3mh
2
40
¡
1 + 5 cos
2
α
¢
˙
ϕ
2
,
h I
1
, I
3
, a = 3h/4
L
m U(r)
L(r, v) =
mv
2
2
− U(r)
K
0
. K
K
0
V(t) Ω(t)
L(r, v) =
mv
2
2
− m(v · [r ×Ω]) +
m
2
[r × Ω]
2
− m(
˙
V · r) − U(r)
m
dv
dt
= −
∂U
∂r
− m
˙
V + 2m[v × Ω] + m[r ×
˙
Ω] + m[Ω × [r × Ω]].
Ðåøåíèå . Îáîçíà÷èì ϕ óãîë ìåæäó îñüþ OX è ëèíèåé OA ñîïðèêîñíîâåíèÿ
êîíóñà ñ ïëîñêîñòüþ. Öåíòð èíåðöèè íàõîäèòñÿ íà îñè êîíóñà è åãî ñêîðîñòü
V = aϕ̇ cos α, ãäå 2α  óãîë ðàñòâîðà êîíóñà, a  ðàññòîÿíèå öåíòðà èíåðöèè
îò âåðøèíû.
 Óãëîâóþ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ âû÷èñëÿåì z 6
 êàê ñêîðîñòü ÷èñòîãî âðàùåíèÿ âîêðóã
 ìãíîâåííîé îñè OA:                                         a ((((((( (
                                                           (
                                                           :
                                                          ((
                                                        ((
                                                       ((
                                                     ((
                                                     (
                    V                          O   (
                                                   (                     -
                                                                          y
            Ω=           = ϕ̇ ctg α.             ¢
                 a sin α                        ¢ ϕ
                                              ¢®x
Îäíà èç ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè ñîâïàäàåò                               A

ñ îñüþ êîíóñà, äðóãóþ íàïðàâèì ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè êîíóñà è ëèíèè OA,
à òðåòüþ ïåðïåíäèêóëÿðíî ïåðâûì äâóì. Òîãäà ïðîåêöèè Ω (íàïðàâëåííîé
ïàðàëëåëüíî OA) íà ãëàâíûå îñè èíåðöèè áóäóò Ω sin α, 0, Ω cos α. Â ðåçóëü-
òàòå íàõîäèì äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
                       µ                     ¶
      ma2    2       1        2      cos 4
                                           α        3mh2 ¡            ¢
  T =             2
          cos α ϕ̇ +    I1 cos α + I3 2          2
                                               ϕ̇ =       1 + 5 cos2 α ϕ̇2 ,
       2             2               sin α           40
ãäå h  âûñîòà êîíóñà, I1 , I3 , a = 3h/4  èç çàäà÷è 5.2ä.


6 Äâèæåíèå â íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà
Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà (3.4) ñïðàâåäëèâû â ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà.
Âèä ôóíêöèè Ëàãðàíæà L çàâèñèò îò âûáîðà ñèñòåìû îòñ÷¼òà. Ôîðìóëà äëÿ
ôóíêöèè Ëàãðàíæà ÷àñòèöû ñ ìàññîé m â ïîëå U (r)

                mv2
    L(r, v) =       − U (r)                                              (6.1)
                 2
ñïðàâåäëèâà ëèøü â íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìå K0 . Â ñèñòåìå K , äâèæóùåéñÿ
îòíîñèòåëüíî K0 ñî ñêîðîñòüþ V(t) è âðàùàþùåéñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ω(t),
ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà èìååò âèä

              mv2                   m
    L(r, v) =     − m(v · [r × Ω]) + [r × Ω]2 − m(V̇ · r) − U (r)        (6.2)
               2                    2
Ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå Ëàãðàíæà:
        dv    ∂U
    m      =−    − mV̇ + 2m[v × Ω] + m[r × Ω̇] + m[Ω × [r × Ω]].         (6.3)
        dt    ∂r

                                       47

Страницы