Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

˙
R = 0
m
dv
dt
= mg + 2m
£
v × Ω
¤
+ m
£
Ω ×
£
r ×Ω
¤¤
,
g = −
γM
R
3
R +
£
Ω ×
£
R ×Ω
¤¤
M
g
Ω
m
dv
dt
= mg + 2m
£
v × Ω
¤
.
v = v
(1)
+ v
(2)
+ v
(3)
+ . . . .
Ω
v
(2)
m
d
dt
¡
v
(1)
+ v
(2)
+ . . .
¢
= mg + 2m
£¡
v
(1)
+ . . .
¢
× Ω
¤
Ω
dv
(1)
dt
= g;
dv
(2)
dt
= 2
£
v
(1)
× Ω
¤
;
v
(1)
= gt+v
0
dv
(2)
dt
= 2
£
v
0
× Ω
¤
+ 2
£
g × Ω
¤
t.
v
(2)
= 2[v
0
× Ω]t + [g × Ω]t
2
.
v
(1)
, v
(2)
v = v
0
+ gt + 2[v
0
× Ω]t + [g × Ω]t
2
+ . . .
ïðîâåä¼ííûé èç öåíòðà Çåìëè, è ó÷èòûâàÿ, ÷òî Ṙ = 0 â ñèñòåìå, ñâÿçàííîé
ñ Çåìë¼é, ïîëó÷èì
       dv            £      ¤    £    £    ¤¤
    m     = mg + 2m v × Ω + m Ω × r × Ω ,                          (6.10)
       dt
          γM     £     £      ¤¤
ãäå g = − 3 R + Ω × R × Ω  óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, M  ìàññà
          R
Çåìëè. Îòìåòèì, ÷òî âåêòîð g, çàäàþùèé íàïðàâëåíèå âåðòèêàëè, íàïðàâëåí
íå òî÷íî ê öåíòðó Çåìëè, à íåñêîëüêî îòêëîí¼í çà ñ÷åò öåíòðîáåæíîé ñèëû
ïî ìåðèäèàíó â ñòîðîíó ýêâàòîðà.
   Ïðåíåáðåãàÿ â (6.10) ïîñëåäíèì, êâàäðàòè÷íûì ïî Ω ñëàãàåìûì, (îáîñíî-
âàòü!) èìååì:
        dv          £     ¤
    m      = mg + 2m v × Ω .                                         (6.11)
        dt
Ðåøåíèå èùåòñÿ ìåòîäîì èòåðàöèé

    v = v(1) + v(2) + v(3) + . . . .                                 (6.12)

Òàê êàê ìû ïðåíåáðåãëè óæå ÷ëåíîì, êâàäðàòè÷íûì ïî Ω, òî ñëåäóåò îãðà-
íè÷èòüñÿ v(2) . Ïîäñòàâëÿåì ðàçëîæåíèå (6.12) â óðàâíåíèå (6.11):
        d ¡ (1)            ¢         £¡           ¢    ¤
    m      v + v(2) + . . . = mg + 2m v(1) + . . . × Ω               (6.13)
        dt
è ïðèðàâíèâàåì ÷ëåíû îäèíàêîâîé ìàëîñòè ïî Ω

    dv(1)
          = g;                                                       (6.14)
     dt
    dv(2)    £        ¤
          = 2 v(1) × Ω ;                                             (6.15)
      dt
èíòåãðèðóåì óðàâíåíèå (6.14) v(1) = gt+v0 è ïîäñòàâëÿåì â óðàâíåíèå (6.15):

    dv(2)    £      ¤   £     ¤
          = 2 v0 × Ω + 2 g × Ω t.                                    (6.16)
     dt
Èíòåãðèðóåì (6.16), èìååì

                           v(2) = 2[v0 × Ω]t + [g × Ω]t2 .

Ïîäñòàâëÿåì v(1) ,    v(2) â (6.12), ïîëó÷àåì

    v = v0 + gt + 2[v0 × Ω]t + [g × Ω]t2 + . . .                     (6.17)

                                         49

Страницы