Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 52 стр.

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ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

y
y = (v
0z
Ω
x
− v
0x
Ω
z
)
µ
2V
0z
g
2
−
gΩ
x
3
µ
2V
0z
g
3
=
4V
2
0z
g
2
µ
V
0z
Ω
x
3
− V
0x
Ω
z
.
U = mg(l −
p
l
2
− x
2
− y
2
).
|x| ¿ l, |y| ¿ l.
U
∼
=
mω
2
2
(x
2
+ y
2
),
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
l
u
?
g
p
x
2
+y
2
ω
2
=
g
l
. Ω
m
dv
dt
= mg + 2m [v × Ω],
¨x + ω
2
x = 2 ˙yΩ
z
− 2 ˙zΩ
y
;
¨y + ω
2
y = −2 ˙xΩ
z
+ 2 ˙zΩ
x
.
z = l −
p
l
2
− x
2
− y
2
˙z =
x ˙x + y ˙y
p
l
2
− x
2
− y
2
|˙z| ¿ |˙x| + |˙y| ˙zΩ
y
˙zΩ
x
i
¨
ξ + 2iΩ
z
˙
ξ + ω
2
ξ = 0,
ξ = x + iy ξ = e
iαt
α
−α
2
− 2αΩ
z
+ ω
2
= 0.
α
α = −Ω
z
±
p
Ω
2
z
+ ω
2
= −Ω
z
± ω
r
1 +
Ω
2
z
ω
2
∼
=
−Ω
z
± ω.
Îòêëîíåíèå îò ïëîñêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì y â ìîìåíò ïàäåíèÿ. Èç
(6.19) è (6.21) èìååì
                            µ        ¶2             µ            ¶3            µ                  ¶
                         2V0z               gΩx         2V0z           4V0z2       V0z Ωx
  y = (v0z Ωx − v0x Ωz )                  −                           = 2                 − V0x Ωz .
                          g                  3           g              g            3

Çàäà÷à 6.3. Îïðåäåëèòü âëèÿíèå, îêàçûâàåìîå âðàùåíèåì Çåìëè íà ìàëûå
êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà (ìàÿòíèê Ôóêî).
                                                                                      A
Ðåøåíèå . Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ                                                        A
                                                                                           A
                                     p                                                      A
                    U = mg(l −        l2   −   x2   −   y 2 ).                                 A       l
                                                                                                   A
                                                                                                    A
 Ïî óñëîâèþ |x| ¿ l,         |y| ¿ l.  ýòîì ñëó÷àå                                                    A
                                                                                      p       A
                                                                                       x2 +y 2 AAu
                    ∼ mω 2 2
                  U=      (x + y 2 ),                      ?g
                        2
          g
ãäå ω 2 = . Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ïåðâîì ïîðÿäêå ïî Ω èìåþò âèä (ñì.
           l
çàäà÷ó 6.1)
          dv
      m      = mg + 2m[v × Ω],                                                                             (6.22)
          dt
èëè

      ẍ + ω 2 x = 2ẏΩz − 2żΩy ;                                                                         (6.23)

      ÿ + ω 2 y = −2ẋΩz + 2żΩx .                                        (6.24)
                    p                         xẋ + y ẏ
Òàê êàê z = l − l2 − x2 − y 2 , òî ż = p                  , ñëåäîâàòåëüíî
                                            l 2 − x2 − y 2
|ż| ¿ |ẋ| + |ẏ|. Ïîýòîìó ÷ëåíû żΩy è żΩx â ïðàâûõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèé (6.23)
è (6.24) ìîæíî îïóñòèòü. Óìíîæèì óðàâíåíèå (6.24) íà i è ñëîæèì ñ óðàâíå-
íèåì (6.23). Ïîëó÷èì

      ξ¨ + 2iΩz ξ˙ + ω 2 ξ = 0,                                                                            (6.25)

ãäå ξ = x + iy . Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.25) èùåì â âèäå ξ = eiαt , ãäå α äîëæíî
óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ

      −α2 − 2αΩz + ω 2 = 0.                                                                                (6.26)

Äëÿ α ïîëó÷àåì
                                                    r
                    p                                        Ω2z ∼
      α = −Ωz ±         Ω2z + ω 2 = −Ωz ± ω          1+          = −Ωz ± ω.                                (6.27)
                                                             ω2
                                                51

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