Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ξ = e
−iΩ
z
t
¡
A
1
e
iωt
+ A
2
e
−iωt
¢
,
A
1
A
2
ξ
=
x
(
t
) +
iy
(
t
)
x
0
(t) iy
0
(t)
x(t) + iy(t) = e
−iΩ
z
t
[x
0
(t) + iy
0
(t)] ,
x
0
(t) y
0
(t)
x(t) = x
0
(t) cos Ω
z
t + y
0
(t) sin Ω
z
t;
y(t) = −x
0
(t) sin Ω
z
t + y
0
(t) cos Ω
z
t.
Ω
z
m
Ω z
, y, z
E =
mv
2
0
2
+ mgz − [r × p] · Ω =
mv
2
2
+ mgz −
m
2
[r × Ω]
2
,
v
0
= v + [Ω × r], p = mv
0
x
v = 0 [r×Ω]
2
z =
Ω
2
2g
x
2
+
E
mg
.
q = q
0
∂U
∂q
¯
¯
¯
¯
q=q
0
= 0,
Ñëåäîâàòåëüíî îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6.25) èìååò âèä
               ¡                  ¢
    ξ = e−iΩz t A1 eiωt + A2 e−iωt ,                                  (6.28)

Ãäå A1 è A2 íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Òàê êàê ξ = x(t) + iy(t), òî ÷ëåí â ñêîáêàõ
ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê x0 (t) è iy0 (t), ò.å.

    x(t) + iy(t) = e−iΩz t [x0 (t) + iy0 (t)] ,                       (6.29)

ãäå x0 (t) è y0 (t) äàþò òðàåêòîðèþ ìàÿòíèêà áåç ó÷åòà âëèÿíèÿ Çåìëè. Ðàçäå-
ëÿÿ äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè â âûðàæåíèè (6.29), ïîëó÷èì

    x(t) = x0 (t) cos Ωz t + y0 (t) sin Ωz t;
    y(t) = −x0 (t) sin Ωz t + y0 (t) cos Ωz t.                        (6.30)

Èç (6.30) âèäíî, ÷òî âëèÿíèå âðàùåíèÿ Çåìëè ñâîäèòñÿ ê ïîâîðîòó ïëîñêîñòè
êîëåáàíèÿ âîêðóã âåðòèêàëè ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ Ωz .

Çàäà÷à 6.4. Øàðèê ìàññû m íàíèçàí íà ãëàäêóþ ïëîñêóþ êðèâóþ, ðàñïî-
ëîæåííóþ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè è ðàâíîìåðíî âðàùàþùóþñÿ ñ óãëîâîé
ñêîðîñòüþ Ω âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè z . Íàéòè óðàâíåíèå ýòîé êðèâîé, åñëè
øàðèê íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå êðèâîé.
Ðåøåíèå . Â ñèñòåìå îòñ÷¼òà õ, y, z , âðàùàþùåéñÿ âìåñòå ñ êðèâîé, èìååò
ìåñòî çàêîí ñîõðàíåíèÿ îáîáù¼ííîé ýíåðãèè øàðèêà (6.8)

             mv02                       mv 2        m
          E=      + mgz − [r × p] · Ω =      + mgz − [r × Ω]2 ,
              2                          2          2
ãäå ó÷òåíî v0 = v + [Ω × r], p = mv0 . Âûáðàâ îñü x â ïëîñêîñòè êðèâîé,
ïîëîæèâ v = 0, ò.ê. ÷àñòèöà ïîêîèòñÿ îòíîñèòåëüíî êðèâîé è ðàñêðûâ [r× Ω]2 ,
           Ω2 2   E
íàéä¼ì z =    x +    .
           2g     mg

7 Ìàëûå êîëåáàíèÿ
Ìàëûå êîëåáàíèÿ  äâèæåíèå ñèñòåìû âáëèçè ïîëîæåíèÿ óñòîé÷èâîãî ðàâ-
íîâåñèÿ q = q0 , êîòîðîå äëÿ ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû îïðåäåëÿåòñÿ
óñëîâèÿìè (äâèæåíèå âáëèçè "äíà" îäíîìåðíîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìû):
        ¯
    ∂U ¯¯
             = 0,                                                      (7.1)
    ∂q ¯q=q0


                                            52

Страницы