Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

r = r
0
+ v
0
t +
gt
2
2
+ [v
0
× Ω]t
2
+
1
3
[g × Ω]t
3
+ . . . .
θ g X
Y
g
x
= g
y
= 0, g
z
= −g;
Ω
x
≈ −Ω cos θ, Ω
y
= 0, Ω
z
≈ Ω sin θ.
t = 0
r
0
= (0, 0, h), v
0
= 0.
@
@
@
@I
R
6
Ω
À
x
H
H
H
Hj
y
@
@
@I
z
θ
z z = h −
gt
2
2
z = 0
t =
p
2h/g x y
x = 0, y =
1
3
[g × Ω]
y
t
3
=
gΩ
3
cos θ
µ
2h
g
3/2
.
gΩ
3
µ
2h
g
3/2
cos θ.
v
0
.
r = v
0
t +
gt
2
2
+ [v
0
× Ω]t
2
+
1
3
[g × Ω]t
3
+ . . .
zx v
0
z = 0
v
0z
t −
gt
2
2
+ v
0x
Ω
y
t
2
= 0.
t =
2V
0z
g − 2Ω
y
V
0x
'
2V
0z
g
.
Èíòåãðèðóÿ (6.17), èìååì
                      gt2               1
     r = r0 + v 0 t +     + [v0 × Ω]t2 + [g × Ω]t3 + . . . .        (6.18)
                       2                3
Âûáåðåì òåïåðü íàïðàâëåíèÿ îñåé êîîðäèíàò â òî÷êå íàáëþäåíèÿ íà øèðîòå
θ. Îñü Z íàïðàâèì âåðòèêàëüíî ââåðõ (ò.å. ïðîòèâîïîëîæíî g ), îñü X  ïî
ìåðèäèàíó íà þã, îñü Y  ïî øèðîòå íà âîñòîê. Â ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
gx = gy = 0, gz = −g;
                                                    z@
                                                     I            Ω
                                                                  6
                                                       @
                                                          @H
    Ωx ≈ −Ω cos θ, Ωy = 0, Ωz ≈ Ω sin θ.                  ­@ IH
                                                         ­ R@ H H
                                                                j
                                                     x­À       @y
 Ïóñòü íà÷àëüíûå (ò.å. ïðè t = 0) êîîðäèíà-                    θ@
 òû è ñêîðîñòü åñòü:

            r0 = (0, 0, h),   v0 = 0.

                             gt2
Òîãäà äëÿ z èìååì z = h −        . Èç óñëîâèÿ z = 0 ïîëó÷èì âðåìÿ ïàäåíèÿ
   p                          2
t = 2h/g , ïîäñòàâëÿÿ åãî â (6.18), èìååì äëÿ êîîðäèíàò x è y òî÷êè ïàäåíèÿ:
                                                     µ ¶3/2
                            1              gΩ         2h
              x = 0, y = [g × Ω]y t3 =         cos θ        .
                            3               3          g
Ò.î. îòêëîíåíèå ïðîèñõîäèò íà âîñòîê íà âåëè÷èíó
                                        µ        ¶3/2
                                   gΩ       2h
                                                        cos θ.
                                    3        g

Çàäà÷à 6.2. Îïðåäåëèòü îòêëîíåíèå îò íà÷àëüíîé ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ äëÿ
òåëà, áðîøåííîãî ñ ïîâåðõíîñòè Çåìëè ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ v0 .
Ðåøåíèå . Èç çàäà÷è 6.1
              gt2               1
     r = v0 t +   + [v0 × Ω]t2 + [g × Ω]t3 + . . .                    (6.19)
               2                3
Çà ïëîñêîñòü zx âîçüì¼ì ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç âåðòèêàëü è v0 . Âðåìÿ
ïàäåíèÿ îïðåäåëèì èç óñëîâèÿ z = 0. Èç (6.19) èìååì:
            gt2
    v0z t −     + v0x Ωy t2 = 0.                                      (6.20)
             2
Èç (6.20) ïîëó÷àåì
             2V0z       2V0z
     t=               '      .                                        (6.21)
          g − 2Ωy V0x    g
                                                 50

Страницы