Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

N
m
i
¨
r
i
= F
i
, i = 1, 2, . . . , N.
r
i0
= r
i
(t
0
) v
i0
= v
i
(t
0
)
t = t
0
r
i
= r
i
(t; t
0
, r
10
, . . . , r
N0
, v
10
, . . . , v
N0
), i = 1, 2, . . . , N.
F r v t
F
i
i
F
i
= F
(int)
i
+ F
(e)
i
,
F
(int)
i
=
N
X
j=1,j6=i
F
ij
i
F
(e)
i
i
i j
F
ij
= −F
ji
.
F U(r, t)
F = −grad U(r, t) ≡ −∇U ≡ −
∂U
∂r
.
U ∂U/∂t = 0 F
F
v v
e H
F =
e
c
[v × H].
äðóãèõ òåë. Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî äâèæåíèå ñèñòåìû N òî÷åê îïèñûâàåòñÿ ñè-
ñòåìîé óðàâíåíèé (âòîðîé çàêîí Íüþòîíà)

      mi r̈i = Fi ,      i = 1, 2, . . . , N.                                            (1.2)

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îäíîçíà÷íîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1.2) íåîáõîäèìî çàäàòü íà-
÷àëüíûå óñëîâèÿ, ò.å. çíà÷åíèÿ ri0 = ri (t0 ) è vi0 = vi (t0 ) â íåêîòîðûé ìîìåíò
âðåìåíè t = t0 .  ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé Íüþòîíà ìîæåò
áûòü çàïèñàíî â âèäå

      ri = ri (t; t0 , r10 , . . . , rN 0 , v10 , . . . , vN 0 ), i = 1, 2, . . . , N.   (1.3)

   Ñèëà F â îáùåì ñëó÷àå ìîæåò áûòü ôóíêöèåé r, v è t, íî ìîæåò áûòü è
ïîñòîÿííîé èëè çàâèñåòü òîëüêî îò îäíîé èëè îò äâóõ èç óêàçàííûõ âåëè÷èí.
Äëÿ ñèñòåìû òî÷åê ñèëà Fi , äåéñòâóþùàÿ íà i-þ òî÷êó åñòü
                (int)         (e)
      Fi = Fi           + Fi ,                                                           (1.4)
                    N
                    X
       (int)
ãäå   Fi       =              Fij  ñóììà ñèë, äåéñòâóþùèõ íà i-þ òî÷êó ñî ñòîðîíû
                   j=1,j6=i
                                            (e)
îñòàëüíûõ ÷àñòèö ñèñòåìû. Fi  ðåçóëüòèðóþùàÿ âñåõ âíåøíèõ ñèë, äåé-
ñòâóþùèõ íà i-þ ÷àñòèöó ñî ñòîðîíû òåë, íå âõîäÿùèõ â ðàññìàòðèâàåìóþ
ñèñòåìó òî÷åê (äëÿ ñèñòåìû èç îäíîé òî÷êè âñå ñèëû  âíåøíèå). Ñèñòåìà
òî÷åê íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé , åñëè íà íåå íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû.
   Äëÿ ñèë âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè i è j âûïîëíÿåòñÿ çàêîí
ðàâåíñòâà äåéñòâèÿ è ïðîòèâîäåéñòâèÿ (òðåòèé çàêîí Íüþòîíà):

      Fij = −Fji .                                                                       (1.5)

Ñèëà F íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëüíîé, åñëè ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ U (r, t) (ïî-
òåíöèàë èëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ), òàêàÿ, ÷òî
                                                     ∂U
      F = − grad U (r, t) ≡ −∇U ≡ −                     .                                (1.6)
                                                     ∂r
Åñëè U íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè (∂U/∂t = 0), òî ñèëà F íàçûâàåòñÿ êîí-
ñåðâàòèâíîé ïîòåíöèàëüíîé ñèëîé.
   Ñèëà F íàçûâàåòñÿ ãèðîñêîïè÷åñêîé, åñëè îíà ëèíåéíî çàâèñèò îò ñêîðîñòè
òî÷êè v è ïåðïåíäèêóëÿðíà ê v. Íàïðèìåð, ñèëà Ëîðåíöà, äåéñòâóþùàÿ íà
÷àñòèöó ñ çàðÿäîì e â ìàãíèòíîì ïîëå H:
                                                 e
                                             FË = [v × H].
                                                 c
                                                        4

Страницы