Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

m e
E = E
0
cos ωt E
0
ω t = 0
r(0) = r
0
v(0) = v
0
r(t) v(t)
r(t) = r
0
+ v
0
t +
eE
0
mω
2
(1 − cos ωt) v(t) = v
0
+
eE
0
mω
sin ωt
m
O
F = −kr
t = 0
r
0
v
0
O
r(t) = r
0
cos ωt +
v
0
ω
sin ωt v(t) = v
0
cos ωt − r
0
ω sin ωt
r
0
v
0
x r
0
x
2
sin
2
α − xy sin 2α + y
2
(cos
2
α + r
2
0
ω
2
/v
2
0
) = r
2
0
sin
2
α
α r
0
v
0
, ω =
p
k/m.
m
F
c
= −kv
r(t) v(t) r(0) = r
0
=
{0, 0, r
0
} v(0) = v
0
= {v
0
cos α, 0, v
0
sin α}.
r(t) = r
0
+
m
k
v
0
(1 − e
−kt/m
) +
m
k
g
h
t −
m
k
(1 − e
−kt/m
)
i
v(t) = v
0
e
−kt/m
+
m
k
g(1 −e
−kt/m
);
v
0
g
z = r
0
+ x
µ
tg α +
mg
kv
0
cos α
+
m
2
g
k
2
ln
µ
1 −
kx
mv
0
cos α
.
t
                               Çàäà÷è ê ãëàâå 1
Çàäà÷à 1.1. ×àñòèöà ìàññû m, èìåþùàÿ çàðÿä e, äâèæåòñÿ ìåæäó îáêëàä-
êàìè ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà. Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â êîíäåí-
ñàòîðå E = E0 cos ωt, ãäå E0 è ω  êîíñòàíòû. Â ìîìåíò âðåìåíè t = 0
ðàäèóñ-âåêòîð ÷àñòèöû è ñêîðîñòü èìåëè çíà÷åíèÿ r(0) = r0 è v(0) = v0 .
Íàéòè r(t) è v(t).
                             eE0                             eE0
Îòâåò : r(t) = r0 + v0 t +        (1 − cos ωt); v(t) = v 0 +     sin ωt.
                             mω 2                            mω
Çàäà÷à 1.2. ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ ïîä âëèÿíèåì ñèëû, ïðîïîðöèîíàëü-
íîé ðàññòîÿíèþ îò íåêîòîðîé íåïîäâèæíîé òî÷êè O è íàïðàâëåííîé âñåãäà â
ýòó òî÷êó: F = −kr. Íàéòè ðàäèóñ-âåêòîð è ñêîðîñòü ÷àñòèöû êàê ôóíêöèè
âðåìåíè, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 îíà íàõîäèëàñü â ïîëîæå-
íèè r0 è èìåëà ñêîðîñòü v0 îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû îòñ÷¼òà, ñâÿçàííîé ñ òî÷êîé
O. Ïîëó÷èòü óðàâíåíèå òðàåêòîðèè.
                             v0
Îòâåò : r(t) = r0 cos ωt +    sin ωt; v(t) = v0 cos ωt − r0 ω sin ωt;
                            ω
       òðàåêòîðèÿ  ýëëèïñ â ïëîñêîñòè âåêòîðîâ r0 è v0 , óðàâíåíèå êîòîðîãî
       â ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ îñüþ x âäîëü âåêòîðà r0 èìååò âèä:
       x2 sin2 α − xy sin 2α + y 2 (cos2 α + r02 ω 2 /v02 ) = p
                                                              r02 sin2 α ,
       ãäå α  óãîë ìåæäó âåêòîðàìè r0 è v0 , ω = k/m.

Çàäà÷à 1.3. ×àñòèöà ìàññû m äâèæåòñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè â ñðåäå
ñ ñîïðîòèâëåíèåì, ïðîïîðöèîíàëüíûì ñêîðîñòè: Fc = −kv. Íàéòè ðàäèóñ-
âåêòîð r(t) è ñêîðîñòü v(t) ÷àñòèöû êàê ôóíêöèè âðåìåíè, åñëè r(0) = r0 =
{0, 0, r0 } è v(0) = v0 = {v0 cos α, 0, v0 sin α}. Îïðåäåëèòü òðàåêòîðèþ äâèæå-
íèÿ ÷àñòèöû.
                    m          −kt/m     m h    m      −kt/m
                                                              i
Îòâåò : r(t) = r0 + v0 (1 − e        ) + g t − (1 − e        ) ;
                    k                    k      k
                          m
       v(t) = v0 e−kt/m + g(1 − e−kt/m ); òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ ëåæèò â ïëîñ-
                          k
       êîñòè âåêòîðîâ
                  µ     v0 è g è îïèñûâàåòñÿ
                                     ¶        óðàâíåíèåì:
                                               µ              ¶
                                            2
                              mg          mg           kx
       z = r0 + x tg α +                + 2 ln 1 −               .
                           kv0 cos α       k        mv0 cos α
Çàäà÷à 1.4. Èç íåïîäâèæíîé òî÷êè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ïî âñåì
íàïðàâëåíèÿì èñïóñêàþòñÿ îäèíàêîâûå ÷àñòèöû ñ ïîñòîÿííîé ïî ìîäóëþ ñêî-
ðîñòüþ. Çàòåì ÷àñòèöû äâèæóòñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè ñ ñîïðîòèâëå-
íèåì, ïðîïîðöèîíàëüíûì ñêîðîñòè. Íàéòè öåíòð è ðàäèóñ ñôåðû, íà êîòîðîé
îêàæóòñÿ ÷àñòèöû â ìîìåíò âðåìåíè t.


                                           6

Страницы