Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

U(x) =
k
2
³
p
l
2
+ x
2
− l
0
´
2
,
l
0
U(x) x ¿ l :
-
6
A
l
0
m
x
t?
r
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
U(x) =
k
2
"
l
r
1 +
x
2
l
2
− l
0
#
2
∼
=
k
2
·
l
µ
1 +
x
2
2l
2
− l
0
¸
2
=
k
2
µ
l − l
0
+
x
2
2l
2
∼
=
∼
=
k
2
·
(l − l
0
)
2
+
l − l
0
l
x
2
+ ...
¸
= U(0) +
k(l − l
0
)x
2
2l
+ . . . ,
U(0) ≡
k
2
(l − l
0
)
2
x = 0
¯
¯
¯
¯
∂U(0)
∂l
¯
¯
¯
¯
=
k(l − l
0
) k(l − l
0
) = F, U(x) = U(0) + F x
2
/2l.
ω =
p
k/m k F/l
ω =
p
F/lm.
r.
ω =
r
F (r + l)
lmr
.
t
6
6
r
?
l
Á
r
ϕ
q
q
q
q
q
q
q
q
m
2
m
1
˙x(m
1
+m
2
)+m
2
l ˙ϕ cos ϕ = const,
x m
1
l ϕ
˙x = −
m
2
l cos ϕ
m
1
+ m
2
˙ϕ.
˙x ϕ ¿ 1
L =
m
1
m
2
l
2
2(m
1
+ m
2
)
˙ϕ
2
−
m
2
gl
2
ϕ
2
+ const.
ω =
s
g(m
1
+ m
2
)
m
1
l
.
                                                             Ar6qq
                   k ³p 2           ´2                            qq
              U (x) =   l + x 2 − l0 ,                       l      qq
                   2                                                  qq
                                                                        qq
 ãäå l0 äëèíà ïðóæèíû â ñâîáîäíîì ñîñòîÿíèè.                              qq m
                                                               ?            qqt    -
 Ïðåîáðàçóåì U (x) c ó÷¼òîì x ¿ l :                            0             x
                 "r                #2       · µ           ¶   ¸2      µ              ¶
                                                        2                           2 2
               k         x2               k           x             k             x
     U (x) =      l 1 + 2 − l0 ∼       =      l 1 + 2 − l0 =            l − l0 +        ∼
                                                                                        =
               2          l               2          2l             2             2l
                         ·                              ¸
                    ∼  k             2   l −  l0  2                k(l − l0 )x2
                    =       (l − l0 ) +          x + ... = U (0) +              + ...,
                       2                    l                           2l
                                                                             ¯        ¯
              k                                                              ¯ ∂U (0) ¯
ãäå U (0) ≡ (l − l0 )2 . Ñèëà íàòÿæåíèÿ ïðóæèíû ïðè x = 0 ðàâíà ¯¯                    ¯=
              2                                                                 ∂l ¯
                                                                         2
k(l − l0 ) è ïî óñëîâèþ k(l − l0 ) = F, òàê p ÷òî U (x) = U (0) + F x /2l.
 ñòàíäàðòíîé
     p            ôîðìóëå (7.3) ω =             k/m ðîëü k èãðàåò F/l è ìû èìååì
ω = F/lm.

 Çàäà÷à 7.4. Ðåøèòü ïðåäûäóùóþ çàäà÷ó ïðè                                q6
                                                                       l qqq
 óñëîâèè, ÷òî òî÷êà äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðà-                            ? qq
 äèóñà r.                                                                 6 qqt
               r                                                       r     ­
                                                                              ­
                                                                              Á
                   F (r + l)                                              ϕ­ r
 Îòâåò : ω =                 .                                           ­
                     lmr                                                ­

Çàäà÷à 7.5. Íàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ïëîñêîãî ìàÿòíèêà ñ ìàññîé
m2 , ïðèêðåïëåííîãî ê òåëó ìàññîé m1 , äâèæóùåìóñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿ-
ìîé â òîé æå ïëîñêîñòè.
Ðåøåíèå . Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ýòîé çàäà÷è ïîëó÷åíà â çàäà÷å 3.11. Òàì ïîêà-
çàíî, ÷òî ýòà ñèñòåìà èìååò ïåðâûé èíòåãðàë ẋ(m1 +m2 )+m2 lϕ̇ cos ϕ = const,
èìåþùèé ñìûñë èìïóëüñà âñåé ñèñòåìû (x  êîîðäèíàòà òåëà ñ ìàññîé m1 ,
l  äëèíà ìàÿòíèêà, ϕ  óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà îò âåðòèêàëè ). Âûáè-
                                                                  m2 l cos ϕ
ðàÿ ñèñòåìó îòñ÷¼òà, ãäå ýòîò èíòåãðàë ðàâåí íóëþ, èìååì ẋ = −              ϕ̇.
                                                                  m1 + m2
Ïîäñòàâëÿÿ ẋ â ôóíêöèþ Ëàãðàíæà, ïîëó÷èì äëÿ ìàëûõ êîëåáàíèé (ϕ ¿ 1)
                             m1 m2 l 2       m2 gl 2
                        L=             ϕ̇2 −      ϕ + const.
                           2(m1 + m2 )        2
              s
                  g(m1 + m2 )
Îòâåò : ω =                   .
                     m1 l

                                          55

Страницы