Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

a À |z|
U(z) |z| ¿ a
U(z) =
κ
2
(
p
a
2
+ 4z
2
−a)
2
−mgz =
κ
2
(2a
2
+ 4z
2
−2a
p
a
2
+ 4z
2
) −mgz =
=
κ
2
(
2a
2
+ 4z
2
− 2a
2
"
1 +
1
2
·
4z
2
a
2
−
1
8
µ
4z
2
a
2
2
#)
−mgz =
2κ
a
2
z
4
−mgz.
z
0
U(z)
∂U
∂z
=
8z
3
κ
a
4
− mg = 0; z
0
=
3
r
mga
2
8κ
.
U(z)
∂
2
U
∂z
2
¯
¯
¯
¯
z=z
0
=
24κz
2
a
2
¯
¯
¯
¯
z=z
0
=
24κz
2
0
a
2
U(z) = U(z
0
) +
1
2
·
24κz
2
0
a
2
(z −z
0
)
2
+ . . . ,
ω =
r
24κz
2
0
ma
2
=
s
6
µ
κg
2
ma
2
1
3
.
m
κ l
0
x
∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨
t
m
¾ -
2l
U(x) =
κ
2
(l + x − l
0
)
2
+
κ
2
(l − x − l
0
)
2
= κx
2
+ κ(l − l
0
)
2
.
ω =
p
2κ/m.
κ
1
l
1
κ
2
l
2
Çàäà÷à 7.6.  çàäà÷å 3.5 íàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî
a À |z|.
Ðåøåíèå . Çàïèøåì è ïðåîáðàçóåì U (z) c ó÷¼òîì |z| ¿ a :
             κ p 2            2        κ   2     2
                                                      p
    U (z) = ( a + 4z − a) − mgz = (2a + 4z − 2a a2 + 4z 2 ) − mgz =
                          2
           (2               "          2
                                          µ 2 ¶2 #)
                                     2
         κ                      1 4z     1 4z              2κ 4
     =      2a2 + 4z 2 − 2a2 1 + · 2 −              −mgz =    z −mgz.
         2                      2 a      8 a2              a2

Íàõîäèì òî÷êó z0 , ãäå U (z) èìååò ìèíèìóì:
                                                                    r
                                   3
                         ∂U  8z κ                                   3   mga2
                            = 4 − mg = 0;                    z0 =            .
                         ∂z   a                                          8κ
Äàëåå ñëåäóåò ðàçëîæèòü U (z) â ðÿä îêîëî ìèíèìóìà. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëÿåì
                                   ¯             ¯
                            ∂ 2 U ¯¯     24κz 2 ¯¯    24κz02
                                       =            =
                            ∂z 2 ¯z=z0     a2 ¯z=z0     a2
è èìååì
                                                  1 24κz02
                       U (z) = U (z0 ) +            ·  2
                                                           (z − z0 )2 + . . . ,
                                                  2   a
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
          r                s
                               µ       ¶ 13
              24κz02          κg 2
    ω=                 =    6                 .
               ma2            ma2

Çàäà÷à 7.7. Íàéòè ÷àñòîòó êîëåáàíèé ãðóçèêà ìàññû m, äâèæóùåãîñÿ òîëü-
êî ãîðèçîíòàëüíî, åñëè óïðóãîñòè ïðóæèí κ è èõ äëèíû l0 â íåíàïðÿæåííîì
ñîñòîÿíèè îäèíàêîâû.                             /                  /
                                                            t
                                                 /∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨∨  /
 Ðåøåíèå . Ïóñòü x îòêëîíåíèå ãðóçèêà îò ñåðåäè- /         m        /
                                                 /                  /
 íû. Òîãäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ                 /
                                                 /
                                                  ¾        2l     - /
                                                                    /

                       κ                 κ
          U (x) =        (l + x − l0 )2 + (l − x − l0 )2 = κx2 + κ(l − l0 )2 .
                       2                 2
                p
Îòñþäà    ω=        2κ/m.

Çàäà÷à 7.8. Ðåøèòü ïðåäûäóùóþ çàäà÷ó, åñëè êîýôôèöèåíòû óïðóãîñòè è
äëèíû ïðóæèíîê åñòü κ1 , l1 è κ2 , l2 ñîîòâåòñòâåííî. Íàéòè òàêæå ïîëîæåíèå
ðàâíîâåñèÿ.


                                                     56

Страницы