Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

±
ω =
r
a + g
l
ω =
r
|g − a|
l
a > g
π
ω t = 0
x
0
˙x
0
m¨x + kx = F,
F
k
F
mω
2
ω =
r
k
m
. x = A cos(ωt +
α)
x(t) = A cos(ωt + α) +
F
mω
2
.
˙x(t) = −ωA sin(ωt+α).
α = 0 A = −
F
mω
2
x(t) =
µ
F
mω
2
(1 − cos ωt).
ω
F = at
v
0
x
0
¨x + ω
2
x =
at
m
a
mω
2
t
x(t) = A cos ωt + B sin ωt +
at
mω
2
˙x(t) = −Aω sin ωt + Bω cos ωt +
a
mω
2
.
Çàäà÷à 7.11. Íàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà,
òî÷êà ïîäâåñà êîòîðîãî äâèæåòñÿ âåðòèêàëüíî ââåðõ ñ óñêîðåíèåì ±à.
Óêàçàíèå : Èñïîëüçîâàòü ðåøåíèå çàäà÷è 3.8.
            r                                              r
               a+g                                           |g − a|
Îòâåò : ω =         , åñëè äâèæåíèå âåðòèêàëüíî ââåðõ; ω =           , åñëè
                 l                                              l
       äâèæåíèå âåðòèêàëüíî âíèç. Ïðè a > g ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñìå-
       ñòèòñÿ íà óãîë π .

Çàäà÷à 7.12. Îïðåäåëèòü âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ îñöèëëÿòîðà ñ ÷àñòîòîé
ω ïîä âëèÿíèåì ïîñòîÿííîé ñèëû, âêëþ÷åííîé â ìîìåíò t = 0. Íà÷àëüíûå
êîîðäèíàòû x0 è ñêîðîñòü x˙0 ðàâíû íóëþ.
Ðåøåíèå . Çàïèøåì óðàâíåíèå êîëåáàíèé

    mẍ + kx = F,                                                       (7.16)
                                                         F      F
ãäå F=const. ×àñòíîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ åñòü          èëè      , ãäå ω =
r                                                        k     mω 2
   k
     . Îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ âîçüì¼ì â âèäå x = A cos(ωt +
  m
α). Òîãäà ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (7.16) áóäåò ñóììà
                              F
    x(t) = A cos(ωt + α) +        .                                     (7.17)
                             mω 2
Äëÿ ñêîðîñòè èìååì ẋ(t) = −ωA sin(ωt+α). Èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïîëó÷àåì
                 F
α = 0, A = −         è ïîäñòàâëÿåì â (7.17)
                mω 2
                                µ      ¶
                                   F
                         x(t) =          (1 − cos ωt).
                                  mω 2

Çàäà÷à 7.13. Îïðåäåëèòü çàêîí êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà ñ ÷àñòîòîé ω ïîä
äåéñòâèåì ñèëû F = at , åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò ñèñòåìà èìåëà ñêîðîñòü
v0 è êîîðäèíàòó x0 .
                                                            at
Ðåøåíèå . Óðàâíåíèå êîëåáàíèé çàïèøåì â âèäå ẍ + ω 2 x =      . ×àñòíîå ðåøå-
                             a                              m
íèå ýòîãî óðàâíåíèÿ åñòü         t. Îáùåå ðåøåíèå ñîîòâåòñòâåííî ïðèìåò âèä
                            mω 2
                              at
x(t) = A cos ωt + B sin ωt +      ;
                             mω 2
                                                      a
                    ẋ(t) = −Aω sin ωt + Bω cos ωt +      .
                                                     mω 2
                                       58

Страницы