Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

¨x + ω
0
2
x =
F
0
m
cos ωt.
ω 6= ω
0
B cos ωt
B =
F
0
m(ω
0
2
− ω
2
)
.
x(t) = A cos(ω
0
t + α) +
F
0
m(ω
0
2
− ω
2
)
cos ωt;
˙x(t) = −A sin(ω
0
t + α) −
F
0
ω
m(ω
0
2
− ω
2
)
sin ωt.
0 = A cos(α) +
F
0
m(ω
0
2
− ω
2
)
, 0 = −Aω
0
sin(α),
α = 0, A = −
F
0
m(ω
0
2
− ω
2
)
x(t) =
F
0
m(ω
0
2
− ω
2
)
[cos(ωt) − cos(ω
0
t)] =
=
2F
0
m(ω
0
2
− ω
2
)
sin
µ
ω
0
− ω
2
t
sin
µ
ω
0
+ ω
2
t
.
ω = ω
0
Bt sin(ω
0
t) ω → ω
0
x(t) =
F
0
t
2mω
0
sin(ω
0
t).
ω
T F
0
0 6 t 6 T
x(t) =
F
0
mω
2
(1 − cos ωt).
Ðåøåíèå . Óðàâíåíèå êîëåáàíèé èìååò âèä
                     F0
    ẍ + ω 0 2 x =      cos ωt.                                               (7.20)
                     m
×àñòíîå ðåøåíèå ïðè ω 6= ω0 èùåì â âèäå B cos ωt, è, ïîäñòàâëÿÿ åãî â óðàâ-
                                 F0
íåíèå (7.20) èìååì B =                      . Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7.20) åñòü
                             m(ω0 2 − ω 2 )
                                                        F0
                     x(t) = A cos(ω0 t + α) +                      cos ωt;
                                                    m(ω0 2 − ω 2 )
Ñêîðîñòü ðàâíà
                                                        F0 ω
                     ẋ(t) = −A sin(ω0 t + α) −                     sin ωt.
                                                     m(ω0 2 − ω 2 )
Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äàäóò:
                                         F0
                0 = A cos(α) +                      ,    0 = −Aω0 sin(α),
                                     m(ω0 2 − ω 2 )
                              F0
îòêóäà α = 0, A = −                      è äëÿ çàêîíà äâèæåíèÿ èìååì
                          m(ω0 2 − ω 2 )

                 F0
    x(t) =                  [cos(ωt) − cos(ω0 t)] =
             m(ω0 2 − ω 2 )
                                                        µ         ¶    µ         ¶
                                         2F0              ω0 − ω         ω0 + ω
                                  =                 sin          t sin          t .
                                     m(ω0 2 − ω 2 )          2              2
 ñëó÷àå ω = ω0 ðåøåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè ÷àñòíîå ðåøåíèå èñêàòü â
âèäå Bt sin(ω0 t) , èëè â ñàìîì ðåøåíèè ïåðåéòè ê ïðåäåëó ïðè ω → ω0 :
                                             F0 t
                                   x(t) =         sin(ω0 t).
                                            2mω0

Çàäà÷à 7.16. Îïðåäåëèòü àìïëèòóäó êîëåáàíèÿ îñöèëëÿòîðà ñ ÷àñòîòîé ω
ïîñëå äåéñòâèÿ â òå÷åíèå âðåìåíè T ïîñòîÿííîé ñèëû F0 , åñëè â íà÷àëüíûé
ìîìåíò ñèñòåìà ïîêîèëàñü.
Ðåøåíèå . Ïóñòü ñèëà äåéñòâîâàëà ïðè 0 6 t 6 T , òîãäà íà ýòîì èíòåðâàëå (
ñì. çàäà÷ó 7.12)
                                            F0
                                  x(t) =        (1 − cos ωt).
                                           mω 2

                                               60

Страницы