Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

t > T
x(t) = A sin [ω(t − T ) + α] .
t = T
F
0
mω
2
(1 − cos ωT ) = A sin α;
F
0
mω
sin ωT = Aω cos α.
α =
ωT
2
, A =
2F
0
mω
2
sin
ωT
2
.
¨x + ω
2
x =
F (t)
m
dξ
dt
− iωξ =
F
m
,
ξ = ˙x + iωx x =
1
ω
Imξ ξ
ξ = e
iωt
t
Z
0
F (t
0
)
m
e
−iωt
0
dt
0
+ ξ
0
.
t > T
ξ = e
iωt
T
Z
0
F
0
m
e
−iωt
0
dt
0
, (ξ
0
= 0).
ξ = e
iωt
F
0
m
e
−iωT
− 1
−iω
= e
iωt
2F
0
mω
e
−
iωT
2
sin
ωT
2
.
x(t) =
1
ω
Imξ =
2F
0
mω
2
sin
ωT
2
sin
µ
ωt −
ωT
2
ω F = F
0
t
T
T
Ïðè t > T ðåøåíèå âîçüì¼ì â âèäå
                           x(t) = A sin [ω(t − T ) + α] .
'Ñøèâàÿ' ðåøåíèÿ ïðè t = T , èìååì :
                        F0
                            (1 − cos ωT ) = A sin α;
                       mω 2
                          F0
                              sin ωT = Aω cos α.
                         mω
Ðåøàÿ ýòè óðàâíåíèÿ, íàõîäèì
                                   ωT       2F0      ωT
                          α=          ,      A=2
                                                 sin     .
                                    2      mω         2
                                                   F (t)
Äðóãîé ìåòîä ðåøåíèÿ : óðàâíåíèå ẍ + ω 2 x =            ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
                                                    m
     dξ           F
        − iωξ = ,                                                          (7.21)
     dt           m
                                1
ãäå ξ = ẋ + iωx , ïðè÷åì x = Imξ . Èç (7.21) äëÿ ξ èìååì
                               ω
                                 t                      
                                  Z     0
                                    F (t ) −iωt0 0
                       ξ = eiωt          e      dt + ξ0  .
                                     m
                                         0

 íàøåì ñëó÷àå ïðè t > T
                                    ZT
                                          F0 −iωt0 0
                       ξ = eiωt             e     dt ,   (ξ0 = 0).
                                          m
                                    0

Âû÷èñëÿåì èíòåãðàë è ïðåîáðàçóåì
                                   −iωT
                        iωt F0 e      −1        2F0 − iωT  ωT
                  ξ=e                    = eiωt    e 2 sin    .
                           m        −iω         mω          2
Îòñþäà                                      µ         ¶
                     1       2F0      ωT          ωT
               x(t) = Imξ =       sin    sin ωt −
                     ω       mω 2      2            2
è äëÿ àìïëèòóäû è ôàçû èìååì òîò æå ðåçóëüòàò, ÷òî è â ïåðâîì ìåòîäå.

Çàäà÷à 7.17. Îïðåäåëèòü êîíå÷íóþ àìïëèòóäó êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà ñ
                                                                     t
÷àñòîòîé ω , âîçíèêàþùóþ ïîä äåéñòâèåì ñèëû F = F0 çà âðåìÿ îò 0 äî T ,
                                                  T
åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò ñèñòåìà ïîêîèëàñü â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ.

                                               61

Страницы