Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

A =
F
0
mT ω
3
p
ω
2
T
2
− 2ωT sin(ωT ) + 2(1 − cos(ωT )).
ω
F =
0 t < 0
F
0
t/T 0 < t < T
F
0
t > T,
A =
2F
0
mω
3
T
sin
ωT
2
.
L =
m
1
+ m
2
2
l
2
1
˙
ϕ
2
1
+
m
2
2
l
2
2
˙
ϕ
2
2
+
+ m
2
l
1
l
2
˙ϕ
1
˙ϕ
2
cos(ϕ
1
− ϕ
2
) + (m
1
+ m
2
)gl
1
cosϕ
1
+ m
2
gl
2
cos ϕ
2
.
(|ϕ
1
| ¿ 1, |ϕ
2
| ¿ 1)
ϕ
1
ϕ
2
L =
m
1
+ m
2
2
l
2
1
˙
ϕ
2
1
+
m
2
2
l
2
2
˙
ϕ
2
2
+ m
2
l
1
l
2
˙ϕ
1
˙ϕ
2
−
− (m
1
+ m
2
)gl
1
ϕ
2
1
2
− m
2
gl
2
ϕ
2
2
2
;
d
dt
∂L
∂ ˙ϕ
1
−
∂L
∂ϕ
1
= 0,
d
dt
∂L
∂ ˙ϕ
2
−
∂L
∂ϕ
2
= 0
(
(m
1
+ m
2
)l
1
¨ϕ
1
+ m
2
l
2
¨ϕ
2
+ (m
1
+ m
2
)gϕ
1
= 0;
l
1
¨ϕ
1
+ l
2
¨ϕ
2
+ gϕ
2
= 0.
ϕ
1
= A
1
e
iωt
; ϕ
2
= A
2
e
iωt
,
(
(m
1
+ m
2
)(g − l
1
ω
2
)A
1
− ω
2
m
2
l
2
A
2
= 0;
−l
1
ω
2
A
1
+ (g − l
2
ω
2
)A
2
= 0.
              F0 p 2 2
Îòâåò : A =          ω T − 2ωT sin(ωT ) + 2(1 − cos(ωT )).
            mT ω 3
Çàäà÷à 7.18. Îïðåäåëèòü êîíå÷íóþ àìïëèòóäó êîëåáàíèé îñöèëëÿòîðà ñ ÷à-
ñòîòîé ω â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ âíåøíåé ñèëû ìåíÿþùåéñÿ ïî çàêîíó
         
         
         0        , åñëè t < 0
    F = F0 t/T , åñëè 0 < t < T
         
         
           F0      , åñëè t > T,
åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò ñèñòåìà ïîêîèëàñü â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ.
              2F0      ωT
Îòâåò : A =        sin    .
            mω 3 T      2
Çàäà÷à 7.19. Îïðåäåëèòü ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ìàëûõ êîëåáàíèé äâîéíîãî
ïëîñêîãî ìàÿòíèêà.
Ðåøåíèå . Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà äâîéíîãî ïëîñêîãî ìàÿòíèêà ïîëó÷åíà â çàäà÷å
3.12 è èìååò âèä:
         m1 + m2 2 2 m2 2 2
     L=              l1 ϕ̇1 +     l ϕ̇ +
            2                  2 2 2
        + m2 l1 l2 ϕ̇1 ϕ̇2 cos(ϕ1 − ϕ2 ) + (m1 + m2 )gl1 cosϕ1 + m2 gl2 cos ϕ2 . (7.22)
Äëÿ ìàëûõ êîëåáàíèé (|ϕ1 | ¿ 1, |ϕ2 | ¿ 1) ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ÷ëåíàìè
ñòåïåíè íå âûøå âòîðîé ïî ϕ1 è ϕ2
          m1 + m2 2 2 m2 2 2
     L=          l1 ϕ̇1 +   l ϕ̇ + m2 l1 l2 ϕ̇1 ϕ̇2 −
             2            2 2 2
                                                   ϕ21      ϕ22
                                    − (m1 + m2 )gl1 − m2 gl2 ; (7.23)
                                                   2        2
 (7.23) îïóùåíû ïîñòîÿííûå ÷ëåíû. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà
    d ∂L         ∂L          d ∂L      ∂L
             −         = 0,          −     =0
    dt ∂ ϕ̇1 ∂ϕ1             dt ∂ ϕ̇2 ∂ϕ2
ïðèíèìàþò âèä
    (
      (m1 + m2 )l1 ϕ̈1 + m2 l2 ϕ̈2 + (m1 + m2 )gϕ1 = 0;
      l1 ϕ̈1 + l2 ϕ̈2 + gϕ2 = 0.

Ïîäñòàâëÿÿ â ýòó ñèñòåìó ϕ1 = A1 eiωt ;         ϕ2 = A2 eiωt , ïîëó÷èì
     (
      (m1 + m2 )(g − l1 ω 2 )A1 − ω 2 m2 l2 A2 = 0;
       −l1 ω 2 A1 + (g − l2 ω 2 )A2 = 0.

                                           62

Страницы