Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
1
(t) =
F
0
2ml
·
1
ω
2
1
− γ
2
−
1
ω
2
2
− γ
2
¸
cos γt;
ϕ
2
(t) =
F
0
2ml
·
1
ω
2
1
− γ
2
+
1
ω
2
2
− γ
2
¸
cos γt,
ϕ
1
(t)
ϕ
2
(t)
=
ω
2
2
− ω
2
1
ω
2
2
+ ω
2
1
− 2γ
2
.
ω
2
2
− ω
2
1
¿ ω
2
2
+ ω
2
1
, γ ¿ ω
2
γ À ω
2
¯
¯
¯
¯
ϕ
1
(t)
ϕ
2
(t)
¯
¯
¯
¯
¿ 1,
ω
0
f = f
0
e
αt
cos γt.
¨x + 2λ ˙x + ω
2
0
x =
F (t)
m
¨z + 2λ ˙z + ω
2
0
z =
f
0
m
e
αt
e
iγt
,
x = Re z z z = Ae
(α+iγ)t
z A
A =
f
0
m
1
(α + iγ)
2
+ 2λ(α + iγ) + ω
2
0
.
x x = be
αt
cos(γt + δ)
b =
f
0
m
1
p
(α
2
+ ω
2
0
+ 2λα − γ
2
)
2
+ 4γ
2
(α + λ)
2
;
δ = −arctg
2γ(α + λ)
(α
2
+ ω
2
0
+ 2λα − γ
2
)
.
E
ω F (t) = F
0
e
−(t/τ)
2
t = −∞
Ðåøåíèå äëÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé åñòü:
                 ·                   ¸
              F0     1           1
    ϕ1 (t) =              −            cos γt;
             2ml ω12 − γ 2 ω22 − γ 2
                 ·                   ¸
              F0     1           1
    ϕ2 (t) =              +            cos γt,
             2ml ω12 − γ 2 ω22 − γ 2
îòêóäà èìååì
                          ϕ1 (t)       ω22 − ω12
                                  =               .
                          ϕ2 (t) ω22 + ω12 − 2γ 2
                                  2    2    2    2
Åñëè ñîáñòâåííûå ¯÷àñòîòû
                       ¯ áëèçêè: ω2 − ω1 ¿ ω2 + ω1 , òî â ñëó÷àÿõ γ ¿ ω2
                   ¯ ϕ1 (t) ¯
èëè γ À ω2 áóäåò ¯¯        ¯ ¿ 1, ò.å. ñèñòåìà ðàáîòàåò êàê "ôèëüòð", çàãëóøàÿ
                    ϕ2 (t) ¯
ïðè ïåðåäà÷å íà ïåðâûé ìàÿòíèê ñëèøêîì ìàëåíüêèå èëè ñëèøêîì áîëüøèå
÷àñòîòû.

Çàäà÷à 7.22. Îïðåäåëèòü âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ îñöèëëÿòîðà ñ ÷àñòîòîé
ω0 ïðè íàëè÷èè ñèëû òðåíèÿ ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû f = f0 eαt cos γt.
Ðåøåíèå . Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ
                    F (t)
    ẍ + 2λẋ + ω02 x =                                                 (7.24)
                     m
óäîáíåå ðåøàòü â êîìïëåêñíîé ôîðìå
                          f0 αt iγt
    z̈ + 2λż + ω02 z =     e e ,                                       (7.25)
                          m
ïðè ýòîì x = Re z . Èùåì z â âèäå z = Ae(α+iγ)t , è ïîëó÷àåì ïîñëå ïîäñòàíîâêè
z â óðàâíåíèå (7.25) âûðàæåíèå äëÿ A :
                                f0             1
                          A=                                   .
                                m (α + iγ)2 + 2λ(α + iγ) + ω02
Çàïèøåì x â ôîðìå x = beαt cos(γt + δ), ãäå
                      f0                1
                 b=      p                                       ;
                      m (α2 + ω02 + 2λα − γ 2 )2 + 4γ 2 (α + λ)2
                                             2γ(α + λ)
                          δ = − arctg                           .
                                        (α2 + ω02 + 2λα − γ 2 )

Çàäà÷à 7.23. Îïðåäåëèòü ýíåðãèþ E , ïðèîáðåòàåìóþ îñöèëëÿòîðîì ñ ÷à-
                                                      2
ñòîòîé ω ïîä äåéñòâèåì ñèëû F (t) = F0 e−(t/τ ) çà âñå âðåìÿ äåéñòâèÿ ñèëû,
åñëè ïðè t = −∞ îñöèëëÿòîð ïîêîèëñÿ.

                                            64

Страницы