Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

¨x + ω
2
x = −αx
2
− βx
3
+ (ω
2
− ω
2
0
)x,
ω
x = x
(0)
+ x
(1)
+ x
(2)
+ . . . , ω = ω
0
+ ω
(1)
+ ω
(2)
+ . . . ,
¨x
(0)
+ ¨x
(1)
+ ¨x
(2)
+ . . . + ω
2
(x
(0)
+ x
(1)
+ x
(2)
+ . . .) =
= −α(x
(0)
+ x
(1)
+ x
(2)
+ . . .)
2
− β(x
(0)
+ x
(1)
+ x
(2)
+ . . .)
3
+
+[(ω
0
+ ω
(1)
+ ω
(2)
+ . . .)
2
− ω
2
0
](x
(0)
+ x
(1)
+ x
(2)
+ . . .).
¨x
(0)
+ ω
2
x
(0)
= 0;
¨x
(1)
+ ω
2
x
(1)
= −αx
(0)
2
+ 2ω
0
ω
(1)
x
(0)
;
¨x
(2)
+ ω
2
x
(2)
= −2αx
(0)
x
(1)
− βx
(0)
3
+ ω
(1)
2
x
(0)
+ 2ω
0
ω
(1)
x
(1)
+ 2ω
0
ω
(2)
x
(0)
.
x
(0)
= a cos ωt.
¨x
(1)
+ ω
2
x
(1)
= 2ω
0
ω
(1)
a cos ωt −
αa
2
2
(1 + cos 2ωt).
ω
2ω
0
ω
(1)
a cos ωt
∼ ω
(1)
t sin ωt
ω
(1)
= 0 x
(1)
x
(1)
= −
αa
2
2ω
2
0
+
αa
2
6ω
2
0
cos 2ωt.
Ïåðåïèøåì åãî â âèäå:

    ẍ + ω 2 x = −αx2 − βx3 + (ω 2 − ω02 )x,                                                (7.26)

ãäå ω  òî÷íîå çíà÷åíèå ÷àñòîòû êîëåáàíèé. Ðåøåíèå èùåòñÿ â âèäå ðÿäîâ

                 x = x(0) + x(1) + x(2) + . . . ,        ω = ω0 + ω (1) + ω (2) + . . . ,

ãäå êàæäûé ïîñëåäóþùèé ÷ëåí ìíîãî ìåíüøå ïðåäûäóùåãî. Ïîäñòàâëÿÿ ýòè
ðÿäû â óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (7.26) , èìååì :

                   ẍ(0) + ẍ(1) + ẍ(2) + . . . + ω 2 (x(0) + x(1) + x(2) + . . .) =

               = −α(x(0) + x(1) + x(2) + . . .)2 − β(x(0) + x(1) + x(2) + . . .)3 +
                 +[(ω0 + ω (1) + ω (2) + . . .)2 − ω02 ](x(0) + x(1) + x(2) + . . .).
Ïðèðàâíèâàÿ ÷ëåíû îäíîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ïîëó÷èì:

    ẍ(0) + ω 2 x(0) = 0;                                                                   (7.27)
                                    2
    ẍ(1) + ω 2 x(1) = −αx(0) + 2ω0 ω (1) x(0) ;                                            (7.28)
                                                    3          2
    ẍ(2) + ω 2 x(2) = −2αx(0) x(1) − βx(0) + ω (1) x(0) + 2ω0 ω (1) x(1) + 2ω0 ω (2) x(0) .
                                                                                    (7.29)

Ñèñòåìó óðàâíåíèé (7.27)-(7.29) ðåøàåì ïîñëåäîâàòåëüíî. Ðåøåíèå óðàâíå-
íèÿ (7.27) ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå íà÷àëà îòñ÷¼òà âðåìåíè ìîæíî âçÿòü
â âèäå:
                                          x(0) = a cos ωt.
Ïîäñòàâëÿÿ åãî â óðàâíåíèå (7.28) , èìååì:

         (1)      2 (1)          (1)         αa2
    ẍ         +ω x       = 2ω0 ω a cos ωt −     (1 + cos 2ωt).                             (7.30)
                                              2
Ýòî íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå èìååò ñïðàâà ÷ëåí ñ ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòîé ω , à
èìåííî  2ω0 ω (1) a cos ωt . Êàê èçâåñòíî, ðåøåíèå â ýòîì ñëó÷àå áóäåò ñîäåð-
æàòü ÷ëåí ∼ ω (1) t sin ωt , ò.å. àìïëèòóäà íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò ñî âðåìå-
íåì. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò îãðàíè÷åííîñòè ýíåðãèè â çàìêíóòîé ñèñòåìå è ñî-
îòâåòñòâóþùåìó ïðåäïîëîæåíèþ î ìàëîñòè àìïëèòóäû êîëåáàíèé. Îòñþäà
ñëåäóåò, ÷òî ω (1) = 0. Òîãäà ðåøåíèå âòîðîãî óðàâíåíèÿ äëÿ x(1) (7.30) áóäåò
îãðàíè÷åííûì è ïðèìåò âèä:
                                             αa2 αa2
                                  x(1) = −       +     cos 2ωt.
                                             2ω02 6ω02
                                                    66

Страницы