Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

L = L(q, ˙q, t)
p
i
= mv
i
q
α
p
α
H
H(p, q, t) =
s
X
β=1
p
β
˙q
β
− L(q, ˙q, t),
˙q p q t
˙q p
α
(t) q
α
(t)
dp
α
dt
= −
∂H
∂q
α
,
dq
α
dt
=
∂H
∂p
α
, α = 1, . . . , s.
r
i
(q)
H(p, q, t) = T (p, q) + U(q, t),
T U
S
q(t)
S(q, t) =
Z
(t,q)
(t
0
q
0
)
L(q(t
0
), ˙q(t
0
), t
0
) dt
0
,
p
α
=
∂S
∂q
α
, α = 1, . . . , s,
∂S
∂t
= −H.
ϕ
1
(p, q, t) ϕ
2
(p, q, t),
{ϕ
1
, ϕ
2
} =
s
X
α=1
½
∂ϕ
1
∂p
α
∂ϕ
2
∂q
α
−
∂ϕ
1
∂q
α
∂ϕ
2
∂p
α
¾
.
ãäå L = L(q, q̇, t)  ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà. Êàê è îáîáù¼ííûå êîîðäèíàòû, îáîá-
ù¼ííûå èìïóëüñû ìîãóò íå èìåòü íè÷åãî îáùåãî ñ ôèçè÷åñêèìè èìïóëüñàìè
÷àñòèöû (pi = mvi ). Ïåðåìåííûå qα è pα íàçûâàþòñÿ êàíîíè÷åñêè ñîïðÿ-
æåííûìè ïåðåìåííûìè. Åñëè ââåñòè ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà H, îïðåäåëÿåìóþ
ôîðìóëîé
                      s
                      X
     H(p, q, t) =              pβ q̇β − L(q, q̇, t),                     (8.2)
                      β=1

â ïðàâîé ÷àñòè êîòîðîé âåëè÷èíû q̇ âûðàæåíû êàê ôóíêöèè p, q è t ñ ïîìî-
ùüþ ñîîòíîøåíèé (8.1) (ðàññìàòðèâàåìûõ êàê ñèñòåìà àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâ-
íåíèé äëÿ q̇ ), òî óðàâíåíèÿ äëÿ pα (t) è qα (t) (óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà) èìåþò
âèä (ñì. [1]):
     dpα    ∂H                  dqα   ∂H
         =−     ,                   =     ,          α = 1, . . . , s.   (8.3)
      dt    ∂qα                  dt   ∂pα
Âûðàæåíèå (8.2) â êîîðäèíàòàõ, ãäå çàâèñèìîñòè (3.3) äëÿ ri (q) íå ñîäåðæàò
âðåìåíè ÿâíî, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

     H(p, q, t) = T (p, q) + U (q, t),                                   (8.4)

ãäå T è U  êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè ñèñòåìû.
   Åñëè ðàññìàòðèâàòü äåéñòâèå S (âñïîìíèòå ïðèíöèï íàèìåíüøåãî äåé-
ñòâèÿ) íà èñòèííûõ òðàåêòîðèÿõ q(t) êàê ôóíêöèþ êîîðäèíàò è âðåìåíè â
êîíå÷íîé òî÷êå ïóòè (â âåðõíåì ïðåäåëå èíòåãðèðîâàíèÿ)
                 Z    (t,q)
     S(q, t) =                 L (q(t0 ), q̇(t0 ), t0 ) dt0 ,            (8.5)
                    (t0 q0 )

òî
            ∂S                                    ∂S
     pα =       ,      α = 1, . . . , s,             = −H.               (8.6)
            ∂qα                                   ∂t
Âûâîä óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà èç âàðèàöèîííîãî ïðèíöèïà ñì. â [1]
    Ñêîáêîé Ïóàññîíà äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ôóíêöèé èìïóëüñîâ è êîîðäèíàò,
ϕ1 (p, q, t) è ϕ2 (p, q, t), íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà
                     s ½
                     X                                          ¾
                         ∂ϕ1 ∂ϕ2           ∂ϕ1 ∂ϕ2
     {ϕ1 , ϕ2 } =                        −                          .    (8.7)
                     α=1
                                 ∂pα ∂qα   ∂qα ∂pα


                                                          68

Страницы