Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

x
(0)
, ω
(1)
, x
(1)
¨x
(2)
+ω
2
x
(2)
= −2αa cos ωt
µ
−
αa
2
2ω
2
0
+
αa
2
6ω
2
0
cos 2ωt
−βa
3
cos
3
ωt+2ω
0
ω
(2)
a cos ωt.
cos ωt cos 2ωt =
1
2
cos ωt +
1
2
cos 3ωt, cos
3
ωt =
1
4
(cos 3ωt + 3 cos ωt),
x
(2)
¨x
(2)
+ ω
2
x
(2)
= −a
3
·
β
4
+
α
6ω
2
0
¸
cos 3ωt + a
·
2ω
(2)
+
5α
2
a
2
6ω
2
0
−
3
4
βa
2
¸
cos ωt.
cos ωt
ω
(2)
=
·
3
2
β −
5
3
α
2
ω
2
0
¸
a
2
4ω
0
,
x
(2)
x
(2)
=
a
3
16ω
2
0
µ
α
2
3ω
2
0
+
β
2
cos 3ωt.
x = a cos ωt +
αa
2
2ω
2
0
µ
−1 +
1
3
cos 2ωt
+
a
3
16ω
2
0
µ
α
2
3ω
2
0
+
β
2
cos 3ωt + . . . ,
ω = ω
0
+
·
−
5
3
α
2
ω
2
0
+
3
2
β
¸
a
2
4ω
0
+ . . . .
−
αa
2
2ω
2
0
+ . . .
ω, 2ω, 3ω ω
q
α
p
α
α = s s
p
α
=
∂L
∂ ˙q
α
,
Ïîäñòàâëÿÿ x(0) , ω (1) , x(1) â óðàâíåíèå (7.29), èìååì:
                              µ               ¶
 (2)     2 (2)                  αa2 αa2
ẍ +ω x          = −2αa cos ωt − 2 + 2 cos 2ωt −βa3 cos3 ωt+2ω0 ω (2) a cos ωt.
                                2ω0 6ω0
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
                            1         1                                 1
       cos ωt cos 2ωt =       cos ωt + cos 3ωt,                cos3 ωt = (cos 3ωt + 3 cos ωt),
                            2         2                                 4
óðàâíåíèå äëÿ x(2) ïåðåïèøåì â âèäå:
                             ·      ¸          ·            2 2
                                                                     ¸
                              β   α                      5α  a   3
   ẍ(2) + ω 2 x(2)     = −a3   + 2 cos 3ωt + a 2ω (2) +     2  − βa2 cos ωt.
                              4 6ω0                       6ω0    4
Ïî òåì æå ïðè÷èíàì, ÷òî è âûøå, êîýôôèöèåíò ïðè cos ωt ïðèðàâíèâàåì
íóëþ è ïîëó÷àåì:            ·         ¸
                                               (2)     3  5 α2 a2
                                           ω         = β−           ,
                                                       2  3 ω02 4ω0
à äëÿ x(2) òîãäà èìååì :
                                                  µ 2      ¶
                                     (2)      a3    α    β
                                 x         =           +     cos 3ωt.
                                             16ω02 3ω02 2
Èòàê, ñîáèðàåì ðåçóëüòàòû:
                         µ             ¶       µ 2       ¶
                     αa2       1           a3    α     β
       x = a cos ωt + 2 −1 + cos 2ωt +              +      cos 3ωt + . . . ,
                     2ω0       3          16ω02 3ω02 2
                                 ·         ¸ 2
                                   5 α2 3    a
                        ω = ω0 + − 2 + β        + ....
                                   3 ω0 2 4ω0
                                                αa2
Âèäíî, ÷òî ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñäâèíóòî íà − 2 + . . ., à êîëåáàíèÿ ñî-
                                                2ω0
äåðæàò ÷àñòîòû ω, 2ω, 3ω è ò.ä., êðàòíûå ÷àñòîòå ω .


8 Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà è êàíîíè÷åñêèé ôîðìàëèçì
 êàíîíè÷åñêîì (ãàìèëüòîíîâîì) ôîðìàëèçìå ìåõàíè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ñèñòå-
ìû îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò qα è îáîáù¼ííûõ èìïóëü-
ñîâ pα , α = 1,. . . ,s, ãäå s  ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïî îïðåäåëåíèþ
              ∂L
       pα =         ,                                                                        (8.1)
              ∂ q̇α
                                                          67

Страницы