Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

F (t)
∆E =
1
2m
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+∞
Z
−∞
F (t)e
−iωt
dt
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
.
∆E =
F
2
0
2m
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+∞
Z
−∞
e
−
t
2
τ
2
− iωt
dt
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
=
F
2
0
2m
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
+∞
Z
−∞
e
−
µ
t
τ
+ i
τω
2
2
−
τ
2
ω
2
4
dt
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2
=
=
F
2
0
2m
πτ
2
e
−
τ
2
ω
2
2
.
t → −∞
x = a sin(ωt + α) a α
∆E =
m
2
£
|ξ(∞)|
2
− |ξ(−∞)|
2
¤
ξ = ˙x + iωx
ξ
∆E =
πF
2
0
τ
2
2m
e
−
1
2
(ωτ)
2
+
√
πF
0
aωτe
−
1
4
(ωτ)
2
cos α.
mω
2
0
x
2
2
+
mα
3
x
3
+
mβ
4
x
4
.
L =
m ˙x
2
2
−
mω
2
0
x
2
2
−
mα
3
x
3
−
mβ
4
x
4
,
¨x + ω
2
0
x = −αx
2
− βx
3
.
Ðåøåíèå . Ýíåðãèÿ, ïîëó÷àåìàÿ ñèñòåìîé, ñîâåðøàþùåé âûíóæäåííûå êîëå-
áàíèÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû F (t) , îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (7.8)
                                ¯ +∞              ¯2
                                ¯Z                ¯
                             1 ¯¯          −iωt ¯
                                                  ¯
                       ∆E =         F (t)e     dt ¯ .
                            2m ¯¯                 ¯
                                   −∞

Ïîäñòàâëÿÿ â íåå âûðàæåíèå äëÿ ñèëû èç óñëîâèÿ çàäà÷è, ïîëó÷èì:
                                       ¯                          ¯
              ¯
              ¯ Z+∞ t2
                              ¯2
                              ¯        ¯ +∞ µ t    τω
                                                      ¶2    2 2 ¯2
                                                           τ ω ¯
                                       ¯Z −
         F02 ¯¯    − 2 − iωt ¯¯   F02 ¯¯     τ
                                                +i
                                                    2
                                                         −
                                                             4 dt¯¯ =
    ∆E =      ¯ e τ         dt¯ =          e
         2m ¯                 ¯   2m ¯¯                           ¯
                                                                  ¯
              ¯−∞             ¯        ¯−∞                        ¯
                                                                           τ 2ω2
                                                            F02          −
                                                        =         πτ 2 e     2 .
                                                            2m

Çàäà÷à 7.24.  ïðåäûäóùåé çàäà÷å îïðåäåëèòü ïåðåäàííóþ îñöèëëÿòîðó
ýíåðãèþ , åñëè ïðè t → −∞ êîëåáàíèÿ ñîâåðøàëèñü ïî çàêîíó
x = a sin(ωt + α), ãäå a  àìïëèòóäà, α  ôàçà.
                    m£                    ¤
Óêàçàíèå : ∆E =         |ξ(∞)|2 − |ξ(−∞)|2 , ãäå ξ = ẋ + iωx . Ôîðìóëû äëÿ
                     2
       îïðåäåëåíèÿ ξ ñì. â çàäà÷å (7.16). Çàäà÷ó æåëàòåëüíî ðåøèòü, íå ïðè-
       áåãàÿ ê ãîòîâûì ôîðìóëàì, à èñïîëüçóÿ ïðÿìî ìåòîä ðåøåíèÿ íåîä-
       íîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöè-
       åíòàìè.
                          1    2               1
               πF02 τ 2 − (ωτ )    √         − (ωτ )2
Îòâåò : ∆E =           e 2       + πF0 aωτ e 4        cos α.
                2m
Çàäà÷à 7.25. Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû, ñîâåðøàþùåé ìàëûå êîëåáà-
íèÿ, åñëè å¼ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èìååò âèä (àíãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿ-
òîð):
                        mω02 x2 mα 3 mβ 4
                               +   x +   x.
                          2      3     4
Ðåøåíèå . Èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ Ëàãðàíæà
                      mẋ2 mω02 x2 mα 3 mβ 4
                  L=      −       −   x −   x,
                       2     2      3     4
ïîëó÷èì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ:

                          ẍ + ω02 x = −αx2 − βx3 .

                                     65

Страницы