Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

m
1
l
1
l
2
ω
4
− g(l
1
+ l
2
)(m
1
+ m
2
)ω
2
+ g
2
(m
1
+ m
2
) = 0.
ω
2
=
g(l
1
+ l
2
)(m
1
+ m
2
)
2l
1
l
2
m
1
"
1 ±
s
1 −
4l
1
l
2
m
1
(l
1
+ l
2
)
2
(m
1
+ m
2
)
#
.
m
1
→ ∞ : ω
2
1
∼
=
g
l
1
, ω
2
2
∼
=
g
l
2
.
m
2
→ ∞ : ω
2
1
∼
=
g
l
1
+ l
2
, ω
2
2
∼
=
g
l
1
+ l
2
l
1
l
2
m
1
m
2
À ω
2
1
.
m l l
0
κ
l
0
ϕ
1
= a cos(ω
1
t + α) + b cos(ω
2
t + β),
ϕ
2
= a cos(ω
1
t + α) − b cos(ω
2
t + β).
ω
1
=
r
g
l
, ω
2
=
r
g
l
+ 2
κ
m
F
0
cos γt
γ
U = −F
0
lϕ
2
cos γt
θ
1
=
1
2
(ϕ
1
+ ϕ
2
), θ
2
=
1
2
(ϕ
1
− ϕ
2
).
¨
θ
1
+ ω
2
1
θ
1
=
F
0
2ml
cos γt;
¨
θ
2
+ ω
2
2
θ
2
= −
F
0
2ml
cos γt.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëî íåíóëåâîå ðåøåíèå, îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòå-
ìû äîëæåí ðàâíÿòüñÿ íóëþ. Ïîëó÷åííîå òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèå íàçûâà-
åòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì è â íàøåì ñëó÷àå èìååò âèä :
            m1 l1 l2 ω 4 − g(l1 + l2 )(m1 + m2 )ω 2 + g 2 (m1 + m2 ) = 0.
Ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿþò ÷àñòîòû ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé:
                                     "        s                             #
                g(l1 + l2 )(m1 + m2 )                      4l1 l2 m1
         ω2 =                         1±       1−                          .
                      2l1 l2 m1                     (l1 + l2 )2 (m1 + m2 )

                           g            g
    Ïðè m1 → ∞ :    ω12 ∼
                        = ,       ω22 ∼
                                      = .
                           l1           l2
                           g              l1 + l2 m1
    Ïðè m2 → ∞ : ω12 ∼
                     =          , ω22 ∼
                                      =g             À ω12 .
                        l1 + l2             l1 l2 m2

Çàäà÷à 7.20. Òî÷êè ïîäâåñà äâóõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìàÿòíèêîâ îäèíàêîâîé
ìàññû m è îäèíàêîâîé äëèíû l íàõîäÿòñÿ íà îäíîì óðîâíå íà ðàññòîÿíèè l0
. Ìàòåðèàëüíûå òî÷êè ìàÿòíèêîâ ñîåäèíåíû ïðóæèíîé æåñòêîñòè κ , èìå-
þùåé â íåíàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè äëèíó l0 ("ñâÿçàííûå ìàÿòíèêè"). Íàéòè
çàêîí äâèæåíèÿ ìàÿòíèêîâ ïðè ìàëûõ êîëåáàíèÿõ.
Îòâåò : Çàêîí äâèæåíèÿ
      ϕ1 = a cos(ω1 t + α) + b cos(ω2 t + β),
      ϕ2 = a cos(ω1 t + α) − b cos(ωr
                                    2 t + β).    r
                                        g          g   κ
      Ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ω1 =            , ω2 =     +2 .
                                        l          l   m
Çàäà÷à 7.21. Íà ñèñòåìó ìàÿòíèêîâ, îïèñàííûõ â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, äåé-
ñòâóåò ãîðèçîíòàëüíàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ ñèëà F0 cos γt, ïðèëîæåííàÿ êî âòîðîé
ìàòåðèàëüíîé òî÷êå. Èññëåäîâàòü çàâèñèìîñòü îòíîøåíèÿ àìïëèòóä ìàÿòíè-
êîâ îò ÷àñòîòû âíåøíåé ñèëû γ .
Ðåøåíèå . Äëÿ ìàëûõ êîëåáàíèé ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, îáóñëîâëåííàÿ
âíåøíåé ñèëîé U = −F0 lϕ2 cos γt. Óäîáíåå èñïîëüçîâàòü íîðìàëüíûå êî-
îðäèíàòû
                             1              1
                       θ1 = (ϕ1 + ϕ2 ), θ2 = (ϕ1 − ϕ2 ).
                             2              2
Óðàâíåíèÿ â íîðìàëüíûõ êîîðäèíàòàõ ïðèìóò âèä
                    F0
    θ¨1 + ω12 θ1 =      cos γt;
                   2ml
                      F0
    θ¨2 + ω22 θ2 = −      cos γt.
                     2ml

                                         63

Страницы