Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ϕ
1
(p, q, t) ϕ
2
(p, q, t)
˙ϕ
1
≡ 0 ˙ϕ
2
≡ 0 ϕ
3
= {ϕ
1
, ϕ
2
}
˙ϕ
3
≡ 0
p q
P
α
= P
α
(p, q, t), Q
α
= Q
α
(p, q, t)
P Q
dP
α
dt
= −
∂H
0
∂Q
α
,
dQ
α
dt
=
∂H
0
∂P
α
, α = 1, . . . , s.
H
0
6= H P Q
q
α
, Q
β
; q
α
, P
β
; p
α
, Q
β
; p
α
, P
β
.
F = F(q
α
Q
β
t)
q
α
Q
β
p
α
=
∂F
∂q
α
, P
α
= −
∂F
∂Q
α
, H
0
= H +
∂F
∂t
.
F q Q Q
α
=
Q
α
(p, q, t) s
p
α
=
∂F
∂q
α
, α = 1, . . . , s,
P
α
(p, q, t) P
α
= −
∂F
∂Q
α
Q
α
(p, q, t)
q
α
P
β
Φ = Φ(q, P, t)
Q
α
=
∂Φ
∂P
α
, p
α
=
∂Φ
∂q
α
, H
0
= H +
∂Φ
∂t
.
D ≡
¯
¯
¯
¯
∂(Q
1
, . . . , Q
s
, P
1
, . . . , P
s
)
∂(q
1
, . . . , q
s
, p
1
, . . . , p
s
)
¯
¯
¯
¯
= 1
Òåîðåìà Ïóàññîíà: åñëè ôóíêöèè ϕ1 (p, q, t) è ϕ2 (p, q, t)  èíòåãðàëû äâèæå-
íèÿ (ϕ̇1 ≡ 0, ϕ̇2 ≡ 0), òî è ôóíêöèÿ ϕ3 = {ϕ1 , ϕ2 } òîæå ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì
äâèæåíèÿ (ϕ̇3 ≡ 0).
  Ïðåîáðàçîâàíèå îò ïåðåìåííûõ p, q ê íîâûì ïåðåìåííûì

    Pα = Pα (p, q, t),       Qα = Qα (p, q, t)                         (8.18)

íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì ïðåîáðàçîâàíèåì, åñëè óðàâíåíèÿ äëÿ P , Q ñíîâà
èìåþò âèä óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà
    dPα    ∂H0              dQα   ∂H0
        =−     ,                =     ,        α = 1, . . . , s.       (8.19)
     dt    ∂Qα               dt   ∂Pα
H0 6= H , åñëè P è Q ÿâíî çàâèñÿò îò âðåìåíè. Äëÿ âñÿêîãî êàíîíè÷åñêîãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ, èç êîòîðîé îíî ìîæåò
áûòü ïîëó÷åíî. Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè ìîãóò áûòü çàäàíû êàê ôóíêöèè
îäíîãî èç ÷åòûðåõ íàáîðîâ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ:

    qα , Qβ ;   qα , Pβ ;   pα , Qβ ;    pα , P β .                    (8.20)

    Ïóñòü, íàïðèìåð, F = F(qα ,Qβ ,t)  ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ â ïåðåìåííûõ
qα ,Qβ . Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü [1], ÷òî
           ∂F                  ∂F                        ∂F
    pα =       ,    Pα = −         ,     H0 = H +           .          (8.21)
           ∂qα                 ∂Qα                       ∂t
Åñëè ôóíêöèîíàëüíàÿ çàâèñèìîñòü F îò q è Q èçâåñòíà, òî ïåðåìåííûå Qα =
Qα (p, q, t) íàõîäÿòñÿ èç s àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé
           ∂F
    pα =       ,    α = 1, . . . , s,                                  (8.22)
           ∂qα
                                     ∂F
à Pα (p, q, t)  èç ñîîòíîøåíèé Pα = −  , â ïðàâûå ÷àñòè êîòîðûõ (ïîñëå
                                    ∂Qα
äèôôåðåíöèðîâàíèÿ) ïîäñòàâëÿþòñÿ íàéäåííûå âûøå ôóíêöèè Qα (p, q, t).
   Åñëè ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ çàäàíà â ïåðåìåííûõ qα , Pβ (Φ = Φ(q, P, t)),
òî êàíîíè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñëåäóþò èç ñîîòíîøåíèé
            ∂Φ               ∂Φ                         ∂Φ
    Qα =        ,     pα =       ,      H0 = H +           .           (8.23)
            ∂Pα              ∂qα                        ∂t
ßêîáèàí
         ¯                                        ¯
         ¯ ∂(Q1 , . . . , Qs , P1 , . . . , Ps ) ¯
    D ≡ ¯¯                                        ¯=1                  (8.24)
            ∂(q1 , . . . , qs , p1 , . . . , ps ) ¯
                                                 70

Страницы