Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

{ϕ
1
, ϕ
2
} ≡ {ϕ
1
, ϕ
2
}
p,q
= {ϕ
1
, ϕ
2
}
P,Q
.
{P
α
, Q
β
}
p,q
= δ
αβ
, {P
α
, P
β
}
p,q
= {Q
α
, Q
β
}
p,q
= 0.
˙q
α
p
α
L(x, y, z, ˙x, ˙y, ˙z) =
m
2
( ˙x
2
+ ˙y
2
+ ˙z
2
) − mgz,
p
x
=
∂L
∂ ˙x
= m ˙x, p
y
=
∂L
∂ ˙y
= m ˙y, p
z
=
∂L
∂ ˙z
= m ˙z.
H(x, y, z, p
x
, p
y
, p
z
) =
p
2
x
+ p
2
y
+ p
2
z
2m
+ mgz.
˙p
x
= 0, ˙p
y
= 0, ˙p
z
= −mg, ˙x =
p
x
m
, ˙y =
p
y
m
, ˙z =
p
z
m
.
p
x
(t) = p
ox
, p
y
(t) = p
oy
, p
z
(t) = p
oz
− mgt,
äëÿ âñÿêîãî êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ñì. çàäà÷ó 8.27.
   Ñêîáêè Ïóàññîíà (8.7) èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðà-
çîâàíèé:
     {ϕ1 , ϕ2 } ≡ {ϕ1 , ϕ2 }p,q = {ϕ1 , ϕ2 }P,Q .                        (8.25)
 ÷àñòíîñòè (ñì. çàäà÷ó 8.26) :
     {Pα , Qβ }p,q = δαβ , {Pα , Pβ }p,q = {Qα , Qβ }p,q = 0.            (8.26)
Íàðÿäó ñ ñóùåñòâîâàíèåì ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè, âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèé
(8.26) ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèåì êàíîíè÷íîñòè ïðåîáðàçîâàíèé (8.18).
   Îäíî èç äîñòîèíñòâ ìåòîäà êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé: èíòåãðèðîâàíèå
ñèñòåìû (8.19) ìîæåò áûòü ïðîùå (èëè ñîâñåì òðèâèàëüíûì), ÷åì èñõîäíûõ
óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà (8.3).

                                Çàäà÷è ê ãëàâå 8
Çàäà÷à 8.1. Ñîñòàâèòü ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà è êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, äâèæóùåéñÿ â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè, â äåêàðòîâîé,
öèëèíäðè÷åñêîé è ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìàõ êîîðäèíàò. Äëÿ ñëó÷àÿ äåêàðòîâîé
ñèñòåìû ïðîèíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïðè ïðîèçâîëüíûõ íà÷àëü-
íûõ óñëîâèÿõ.
Ðåøåíèå . Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà èñïîëüçóåì ñîîòíîøåíèå
(8.2), çàìåíèâ â íåì îáîáù¼ííûå ñêîðîñòè q̇α íà èìïóëüñû pα ñ ïîìîùüþ
(8.1).
à) Â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ:
                                   m 2
                                      (ẋ + ẏ 2 + ż 2 ) − mgz,
                    L(x, y, z, ẋ, ẏ, ż) =
                                   2
                  ∂L               ∂L                     ∂L
             px =      = mẋ, py =      = mẏ, pz =            = mż.
                  ∂ ẋ             ∂ ẏ                   ∂ ż
Òåïåðü ñ ïîìîùüþ (8.2), íàõîäèì:
                                             p2x + p2y + p2z
                 H(x, y, z, px , py , pz ) =                 + mgz.
                                                  2m
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (8.3), ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ:
                                                   px         py    pz
           ṗx = 0, ṗy = 0, ṗz = −mg, ẋ = , ẏ = , ż = .
                                                   m          m     m
Îáùåå ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé èìååò âèä:
                    px (t) = pox , py (t) = poy , pz (t) = poz − mgt,

                                               71

Страницы