Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

p =
∂L
∂v
=
mv
p
1 − v
2
/c
2
,
H(p) = (p · v) − L(v) =
mc
2
p
1 − v
2
/c
2
= c
p
m
2
c
2
+ p
2
.
v ¿ c
(p
2
/m
2
c
2
) ¿ 1
H(p) = mc
2
+
p
2
2m
,
p mc
2
L(x, ˙x) =
˙x
2
2
−
ω
2
x
2
2
− αx
3
+ βx ˙x
2
,
ω α β
H(p x) =
p
2
2(1 + 2βx)
+
ω
2
x
2
2
+ αx
3
, ˙x =
p
1 + 2βx
,
˙p =
βp
2
(1 + 2βx)
2
− ω
2
x − 3αx
2
.
H(p, r) =
p
2
2m
− (p · a)
L(r,
˙
r) =
m
2
(
˙
r + a)
2
ïîëó÷åííûé ãàìèëüòîíèàí ñîâïàäàåò ñ èçâåñòíûì êëàññè÷åñêèì ãàìèëüòîíè-
àíîì ñâîáîäíîé ÷àñòèöû.
Ðåøåíèå . Îïðåäåëèâ èìïóëüñ ÷àñòèöû â ñîîòâåòñòâèè ñ (8.1)
                                      ∂L     mv
                                 p=      =p            ,
                                      ∂v   1 − v 2 /c2
íàõîäèì ãàìèëüòîíèàí ñîãëàñíî (8.2):

                                                 mc2               p
             H(p) = (p · v) − L(v) = p                        =c    m2 c2 + p2 .
                                                1 − v 2 /c2
Ïðè v ¿ c âòîðîå ñëàãàåìîå ïîä êîðíåì çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ïåðâîãî.
Îãðàíè÷èâàÿñü ñëàãàåìûì ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ìàëîãî ïàðàìåòðà
(p2 /m2 c2 ) ¿ 1, ïîëó÷èì:
                                          p2    2
                            H(p) = mc +      ,
                                         2m
÷òî ñîâïàäàåò ñ íåðåëÿòèâèñòñêèì ãàìèëüòîíèàíîì ñâîáîäíîé ÷àñòèöû ñ òî÷-
íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî (íå çàâèñÿùåãî îò èìïóëüñà p) ñëàãàåìîãî mc2 .

Çàäà÷à 8.4. Ïîñòðîèòü ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà è âûïèñàòü êàíîíè÷åñêèå
óðàâíåíèÿ äëÿ àíãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà, ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà êîòîðî-
ãî èìååò âèä:
                                  ẋ2 ω 2 x2
                         L(x, ẋ) =   −       − αx3 + βxẋ2 ,
                                   2      2
ãäå ω , α, β  ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû.
                        p2        ω 2 x2                 p
Îòâåò : H(p,x) =                +        + αx3 , ẋ =         ,
                   2(1 + 2βx)       2                 1 + 2βx
                 βp2
        ṗ =          2
                        − ω 2 x − 3αx2 .
             (1 + 2βx)
Çàäà÷à 8.5. Íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà, åñëè çàäàíà ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà
÷àñòèöû:
                       p2
             H(p, r) =    − (p · a), ãäå a  ïîñòîÿííûé âåêòîð.
                       2m
                     m
Îòâåò : L(r, ṙ) =     (ṙ + a)2 .
                     2
Çàäà÷à 8.6. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ
òî÷åê íå èçìåíÿåòñÿ ïðè áåñêîíå÷íî ìàëîì ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå (ïîâîðîòå)

                                           73

Страницы