Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

δr
i
= ε i = 1 N
δH = H (r
1
+ ε, . . . , r
N
+ ε) − H(r
1
, . . . , r
N
) =
Ã
ε ·
N
X
i=1
∂H
∂r
i
!
,
ε
N
X
i=1
∂H
∂r
i
= 0,
N
X
i=1
∂H
∂x
i
=
N
X
i=1
∂H
∂y
i
=
N
X
i=1
∂H
∂z
i
= 0.
P =
N
X
i=1
p
i
=
N
X
i=1
[i · p
xi
+ j · p
yi
+ k · p
zi
]
˙
P =
N
X
i=1
[i · ˙p
xi
+ j · ˙p
yi
+ k · ˙p
zi
].
˙
P = −
N
X
i=1
·
i ·
∂H
∂x
i
+ j ·
∂H
∂y
i
+ k ·
∂H
∂z
i
¸
= 0,
P = const
δϕ
δr
i
= [δϕ × r
i
], δp
i
= [δϕ × p
i
], i = 1, . . . , N.
ñèñòåìû êàê öåëîãî â ïðîñòðàíñòâå, òî ïîëíûé èìïóëüñ (ìîìåíò èìïóëüñà)
ñèñòåìû ïðè äâèæåíèè ñîõðàíÿåòñÿ.
Ðåøåíèå .
   à) Ïðè áåñêîíå÷íî ìàëîì ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå ñèñòåìû âñå ðàäèóñû -
âåêòîðû ÷àñòèö ïîëó÷àþò îäèíàêîâîå ïðèðàùåíèå: δri = ε, i = 1,. . . ,N . Ïðè
ýòîì èçìåíåíèå ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà
                                                                                  Ã    N
                                                                                                   !
                                                                                       X ∂H
          δH = H(r1 + ε, . . . , rN + ε) − H(r1 , . . . , rN ) =                  ε·                   ,
                                                                                       i=1
                                                                                             ∂ri

ñîãëàñíî óñëîâèþ, ðàâíî íóëþ.  ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âåêòîðà ε ýòî îçíà÷àåò,
÷òî íóëþ ðàâíà âåêòîðíàÿ ñóììà
                                                N
                                                X ∂H
                                                            = 0,
                                                i=1
                                                      ∂ri

à òàêæå å¼ äåêàðòîâû ñîñòàâëÿþùèå
    N
    X               N
                    X               N
                                    X
      ∂H              ∂H              ∂H
                =               =               = 0.                                                       (8.27)
    i=1
          ∂xi       i=1
                          ∂yi       i=1
                                          ∂zi

Ðàññìîòðèì òåïåðü âåêòîð èìïóëüñà âñåé ñèñòåìû:
                                N
                                X           N
                                            X
                          P=           pi =   [i · pxi + j · pyi + k · pzi ]
                                 i=1            i=1

è îïðåäåëèì åãî èçìåíåíèå âî âðåìåíè:
                                       N
                                       X
                                Ṗ =         [i · ṗxi + j · ṗyi + k · ṗzi ].
                                       i=1

Ñîãëàñíî (8.3) è (8.27) èìååì

                             XN ·                          ¸
                                    ∂H       ∂H       ∂H
                      Ṗ = −     i·      +j·      +k·        = 0,
                             i=1
                                    ∂x i     ∂y i     ∂z i

÷òî îçíà÷àåò P = const.
  á) Ïðè áåñêîíå÷íî ìàëîì ïîâîðîòå ñèñòåìû íà óãîë δ ϕ âìåñòå ñ
ðàäèóñàìè-âåêòîðàìè èçìåíÿþòñÿ è âåêòîðû èìïóëüñîâ:

                    δri = [δ ϕ × ri ],          δpi = [δ ϕ × pi ], i = 1, . . . , N.

                                                       74

Страницы