Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

δH =
Ã
δϕ ·
N
X
i=1
½·
∂H
∂r
i
× r
i
¸
+
·
∂H
∂p
i
× p
i
¸¾
!
= 0.
L =
N
X
i=1
[r
i
× p
i
].
˙
L =
N
X
i=1
½·
∂H
∂r
i
× r
i
¸
+
·
∂H
∂p
i
× p
i
¸¾
.
δϕ L = const
ϕ θ ψ
l
J
1
= J
2
6= J
3
T =
1
2
£
(J
1
+ ml
2
)(ω
2
1
+ ω
2
2
) + J
3
ω
2
3
¤
.
§
ω
1
=
˙
θ, ω
2
= ˙ϕ sin θ, ω
3
= ˙ϕ cos θ +
˙
ψ; U = mgl cos θ,
L =
J
1
+ ml
2
2
(
˙
θ
2
+ ˙ϕ
2
sin
2
θ) +
J
3
2
( ˙ϕ cos θ +
˙
ψ)
2
− mgl cos θ.
p
ϕ
=
∂L
∂ ˙ϕ
=
£
(J
1
+ ml
2
) sin
2
θ + J
3
cos
2
θ
¤
˙ϕ + J
3
cos θ
˙
ψ;
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ â âûðàæåíèå äëÿ âàðèàöèè ôóíêöèè Ãàìèëüòî-
íà, ïîëó÷èì
           à         N ½·                  ¸     ·               ¸¾!
                     X    ∂H                         ∂H
    δH =     δϕ ·                       × ri +           × pi          = 0.               (8.28)
                     i=1
                              ∂ri                    ∂pi

Òåïåðü ðàññìîòðèì âûðàæåíèå äëÿ ìîìåíòà èìïóëüñà ñèñòåìû:
                                                 N
                                                 X
                                          L=           [ri × pi ].
                                                 i=1

Âû÷èñëÿÿ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò ýòîé âåëè÷èíû è èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ
Ãàìèëüòîíà (8.3), ïîëó÷èì:
                                  N ½·
                                  X                     ¸    ·           ¸¾
                                       ∂H                     ∂H
                           L̇ =                  × ri       +     × pi        .
                                  i=1
                                           ∂ri                ∂pi

 ñîîòâåòñòâèè ñ (8.28) ýòî âûðàæåíèå îáðàùàåòñÿ â íîëü (ââèäó ïðîèçâîëü-
íîñòè âåêòîðà δ ϕ), ÷òî îçíà÷àåò L = const.

Çàäà÷à 8.7. Ïîñòðîèòü ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà òÿæåëîãî ñèììåòðè÷íîãî âîë÷-
êà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé.  êà÷åñòâå îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò âûáðàòü
óãëû Ýéëåðà ϕ, θ, ψ .
Ðåøåíèå . Èñïîëüçóåì îáùåå âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñèììåò-
ðè÷íîãî âîë÷êà â ñèñòåìå îòñ÷¼òà, ñâÿçàííîé ñ ãëàâíûìè îñÿìè èíåðöèè (l
 ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ìàññ äî òî÷êè çàêðåïëåíèÿ, J1 = J2 6= J3  ãëàâíûå
ìîìåíòû èíåðöèè):
                         1£                                 ¤
                            (J1 + ml2 )(ω12 + ω22 ) + J3 ω32 .
                           T =
                         2
Òåïåðü âûðàçèì ñîñòàâëÿþùèå óãëîâîé ñêîðîñòè è ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ
÷åðåç óãëû Ýéëåðà [1, § 35, ñòð.143]:

          ω1 = θ̇,     ω2 = ϕ̇ sin θ,          ω3 = ϕ̇ cos θ + ψ̇;       U = mgl cos θ,
è ïîäñòàâèì â ôóíêöèþ Ëàãðàíæà:
            J1 + ml2 2                  J3
        L=           (θ̇ + ϕ̇2 sin2 θ) + (ϕ̇ cos θ + ψ̇)2 − mgl cos θ.
                2                        2
Íàéä¼ì îáîáù¼ííûå èìïóëüñû:
               ∂L £                                 ¤
          pϕ =      = (J1 + ml2 ) sin2 θ + J3 cos2 θ ϕ̇ + J3 cos θψ̇;
               ∂ ϕ̇
                                                     75

Страницы