ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
x(t) =
p
0x
t
m
+ x
0
, y(t) =
p
0y
t
m
+ y
0
, z(t) = −g
t
2
2
+
p
0z
t
m
+ z
0
.
p
0x
p
0y
p
0z
x
0
y
0
z
0
L(r, ϕ, z, ˙r, ˙ϕ, ˙z) =
m
2
( ˙r
2
+ r
2
˙ϕ
2
+ ˙z
2
) − mgz,
p
r
=
∂L
∂ ˙r
= m ˙r, p
ϕ
=
∂L
∂ ˙ϕ
= mr
2
˙ϕ, p
z
=
∂L
∂ ˙z
= m ˙z.
H(r, ϕ, z, p
r
, p
ϕ
, p
z
) =
1
2m
Ã
p
2
r
+
p
2
ϕ
r
2
+ p
2
z
!
+ mgz.
L(r, ϑ, ϕ, ˙r ,
˙
ϑ, ˙ϕ) =
m
2
( ˙r
2
+ r
2
˙
ϑ
2
+ r
2
sin
2
ϑ ˙ϕ
2
) − mgr cos ϑ,
p
r
=
∂L
∂ ˙r
= m ˙r, p
ϑ
=
∂L
∂
˙
ϑ
= mr
2
˙
ϑ, p
ϕ
=
∂L
∂ ˙ϕ
= mr
2
sin
2
ϑ ˙ϕ,
H(r, ϑ, ϕ, p
r
, p
ϑ
, p
ϕ
) =
1
2m
Ã
p
2
r
+
p
2
ϑ
r
2
+
p
2
ϕ
r
2
sin
2
ϑ
!
+ mgr cos ϑ.
R = R ( t)
2α
H =
1
2mR
2
(t)
Ã
p
2
ϑ
+
p
2
ϕ
sin
2
ϑ
!
+ mgR(t) cos ϑ;
˙
ϑ =
p
ϑ
mR
2
(t)
,
˙p
ϑ
=
p
2
ϕ
cos ϑ
mR
2
(t) sin
3
ϑ
+ mgR(t) sin ϑ ˙ϕ =
p
ϕ
mR
2
(t) sin
2
ϑ
˙p
ϕ
= 0.
ϑ = α H =
1
2m
Ã
p
2
r
+
p
2
ϕ
r
2
sin
2
α
!
+ mgr cos α,
˙r =
p
r
m
, ˙p
r
=
p
2
ϕ
mr
3
sin
2
α
− mg cos α, ˙ϕ =
p
ϕ
mr
2
sin
2
α
, ˙p
ϕ
= 0.
m L = −mc
2
p
1 − v
2
/c
2
c v ¿ c
p0x t p0y t t2 p0z t
x(t) = + x0 , y(t) = + y0 , z(t) = −g + + z0 .
m m 2 m
Çäåñü ïîñòîÿííûå p0x , p0y , p0z , x0 , y0 , z0 îïðåäåëÿþò çíà÷åíèÿ èìïóëüñà è
êîîðäèíàò â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè.
á)  öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ:
m
L(r, ϕ, z, ṙ, ϕ̇, ż) = (ṙ2 + r2 ϕ̇2 + ż 2 ) − mgz,
2
∂L ∂L ∂L
pr = = mṙ, pϕ = = mr2 ϕ̇, pz = = mż.
∂ ṙ ∂ ϕ̇ Ã ∂ ż
!
1 p2ϕ
H(r, ϕ, z, pr , pϕ , pz ) = pr + 2 + p2z + mgz.
2
2m r
â)  ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ:
m 2
L(r, ϑ, ϕ, ṙ, ϑ̇, ϕ̇) = (ṙ + r2 ϑ̇2 + r2 sin2 ϑϕ̇2 ) − mgr cos ϑ,
2
∂L ∂L ∂L
pr = = mṙ, pϑ = = mr2 ϑ̇, pϕ = = mr2 sin2 ϑϕ̇,
∂ ṙ ∂ ϑ̇ ∂ ϕ̇
à !
2 2
1 p pϕ
H(r, ϑ, ϕ, pr , pϑ , pϕ ) = p2r + ϑ2 + 2 2 + mgr cos ϑ.
2m r r sin ϑ
Çàäà÷à 8.2. Íàïèñàòü ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà è êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ
÷àñòèöû â îäíîðîäíîì ïîëå òÿæåñòè, åñëè îíà äâèæåòñÿ
à) ïî ïîâåðõíîñòè ãëàäêîé ñôåðû ðàäèóñà R = R(t);
á) ïî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè êðóãîâîãî êîíóñà ñ óãëîì 2α ïðè âåðøèíå. Êî-
íóñ ðàñïîëîæåí âåðòèêàëüíî âåðøèíîé âíèç.
Îòâåò :  îáîèõ ñëó÷àÿõÃèñïîëüçóåì!ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû.
1 2
p2ϕ pϑ
à) H = p ϑ + 2 + mgR(t) cos ϑ; ϑ̇ = ,
2mR2 (t) sin ϑ mR2 (t)
p2ϕ cos ϑ pϕ
ṗϑ = + mgR(t) sin ϑ , ϕ̇ = , ṗϕ = 0.
mR2 (t) sin3 ϑ Ã ! mR 2 (t) sin2 ϑ
2
1 p ϕ
á) ϑ = α; H = p2r + 2 2 + mgr cos α,
2m r sin α
pr p2ϕ pϕ
ṙ = , ṗr = 2 − mg cos α, ϕ̇ = , ṗϕ = 0.
m mr3 sin α mr2 sin2 α
Çàäà÷à 8.3. Ñîñòàâèòü ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà ñâîáîäíîé ðåëÿòèâèñòñêîé
p ֈ-
ñòèöû ñ ìàññîé ïîêîÿ m, åñëè å¼ ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà L = −mc2 1 − v 2 /c2 ,
ãäå c ñêîðîñòü ñâåòà. Ïîêàçàòü, ÷òî â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå (v ¿ c)
72
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- …
- следующая ›
- последняя »
