Задачи по теоретической механике. Манаков Н.Л - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

ω =
r
κ
1
+ κ
2
m
κ
2
(l − l
2
) − κ
1
(l − l
1
)
κ
1
+ κ
2
.
m
U(x) = V cos(αx) − F x, (|F | < |V α|) .
ω
2
=
|V |α
2
m
s
1 −
µ
F
V α
2
.
a
s(t)
L =
m
2
¡
l
2
˙ϕ
2
+ 2 ˙s ˙ϕl cos ϕ + ˙s
2
¢
+ mgl cos ϕ.
¨ϕ +
³
a
l
´
cos ϕ +
g
l
sin ϕ = 0,
¨s = a ϕ
0
g
l
sin ϕ
0
+
a
l
cos ϕ
0
= 0
ϕ
0
= −arctg
a
g
. ϕ = ϕ
0
+ θ
¨
θ +
³
a
l
cos ϕ
0
+
g
l
sin ϕ
0
´
cos θ +
³
g
l
cos ϕ
0
−
a
l
sin ϕ
0
´
sin θ = 0.
¨
θ +
p
a
2
+ g
2
l
sin θ = 0.
ω =
µ
a
2
+ g
2
l
2
1
4
.
                 r
                   κ1 + κ2
Îòâåò : ω =                  , ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñìåùåíî îò ñåðåäèíû íà
                      m
       κ2 (l − l2 ) − κ1 (l − l1 )
                                   .
               κ1 + κ2
Çàäà÷à 7.9. Íàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ÷àñòèöû ìàññû m â ïîëå
U (x) = V cos(αx) − F x, (|F | < |V α|) .
                      s    µ    ¶2
                    2
              |V |α          F
Îòâåò : ω 2 =           1−         .
                m            Vα
Çàäà÷à 7.10. Íàéòè ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà,
òî÷êà ïîäâåñà êîòîðîãî äâèæåòñÿ ãîðèçîíòàëüíî ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì a.
Ðåøåíèå . Çàïèøåì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà ñ ó÷¼òîì òîãî, ÷òî òî÷êà ïîäâåñà äâè-
æåòñÿ ãîðèçîíòàëüíî ïî çàäàííîìó çàêîíó s(t) :
                           m¡2 2                      ¢
                     L=      l ϕ̇ + 2ṡϕ̇l cos ϕ + ṡ2 + mgl cos ϕ.
                           2
Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ åñòü
           ³a´             g
    ϕ̈ +         cos ϕ +     sin ϕ = 0,                               (7.14)
            l              l
ãäå ó÷ëè s̈ = a. Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ϕ0 ïîëó÷àåòñÿ êàê ÷àñòíîå ðåøåíèå
íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, íå çàâèñÿùåå îò âðåìåíè,
    g           a
       sin ϕ0 + cos ϕ0 = 0                                            (7.15)
     l           l
                       a
èëè ϕ0 = − arctg . Â óðàâíåíèè (7.14) äåëàåì çàìåíó ϕ = ϕ0 + θ è,
                       g
ïðåîáðàçóÿ, ïîëó÷èì:
             ³a          g     ´        ³g         a      ´
        θ̈ +    cos ϕ0 + sin ϕ0 cos θ +    cos ϕ0 − sin ϕ0 sin θ = 0.
              l          l               l         l
Ñîãëàñíî (7.15) âòîðîé ÷ëåí ðàâåí íóëþ. Ïðåîáðàçóÿ êîýôôèöèåíò â ïîñëåä-
íåì ÷ëåíå, èìååì              p
                             a2 + g 2
                                 θ̈ + sin θ = 0.
                               l
Äëÿ ÷àñòîòû ìàëûõ êîëåáàíèé ïîëó÷èì
                              µ 2        ¶1
                                 a + g2 4
                          ω=                .
                                   l2

                                           57

Страницы