Задачи по теоретической механике. Часть 1. Манаков Н.Л - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

x s x s
m
x
1
= x y
1
= 0 x
2
= x + s cos α, y
2
= s sin α
T =
M
2
˙x
2
1
+
m
2
( ˙x
2
2
+ ˙y
2
2
) =
M
2
˙x
2
+
m
2
˙x
2
+ 2 ˙x ˙s cos α + ˙s
2
.
U = mgy
2
= mgs sin α
L =
M
2
˙x
2
+
m
2
˙x
2
+ 2 ˙x ˙s cos α + ˙s
2
− mgs sin α.
d
dt
∂L
∂ ˙x
−
∂L
∂x
= 0,
d
dt
∂L
∂ ˙s
−
∂L
∂s
= 0
(M + m)¨x + m¨s cos α = 0,
m¨x cos α + m¨s + mg sin α = 0.
¨x ¨s
¨x =
mg sin α cos α
M + m sin
2
α
, ¨s = −
M + m
M + m sin
2
α
g sin α.
˙x =
mg sin α cos α
M + m sin
2
α
t, ˙s = −
M + m
M + m sin
2
α
gt sin α,
x =
mg sin α cos α
M + m sin
2
α
t
2
2
+ x
0
, s = −
M + m
M + m sin
2
α
g
t
2
2
sin α + s
0
.
t = 0
x(0) = x
0
, s(0) = s
0
, ˙x(0) = 0, ˙s(0) = 0.
x(t), s(t) x
2
y
2
x(t) s(t)
m
x = a(u − sin u), y = −a(1 − cos u), 0 6 u 6 2π
y
t = 0 y = −2a, |v| = v
0
.
6
y
-
x
0
2πa
−2a
s
m
                                               ��


������� � ������� ����� � ������� �������� ������ ���������� ����������
x � s � x � ��������� ���������� ������� ������� ���� ������ ������ ��� s
� ���������� �� ���� m ������ �� �� ����� �� ����� ��������� ����������
����� �� x = x� y = 0� ����� �� x = x + s cos α, y = s sin α� ������������
         1        1                       2                         2
�������
               M 2 m 2                M      m� 2                    �
         T =     ẋ1 + (ẋ2 + ẏ22 ) = ẋ2 +   ẋ + 2ẋṡ cos α + ṡ2 .
               2      2               2      2
������������� �������   U = mgy2 = mgs sin α               �
������� ��������
                      M 2 m� 2                           �
               L=       ẋ +       ẋ + 2ẋṡ cos α + ṡ2 − mgs sin α.
                      2         2

��������� ��������        d ∂L ∂L
                         dt ∂ ẋ
                                 −
                                    ∂x
                                       = 0,
                                               d ∂L ∂L
                                               dt ∂ ṡ
                                                       −
                                                         ∂s
                                                            =0          ������ ����
                            (M + m)ẍ + ms̈ cos α = 0,
                           mẍ cos α + ms̈ + mg sin α = 0.
����� ��� ������� ��������� ������������ ẍ� s̈� ��������
                      mg sin α cos α                     M +m
               ẍ =                  ,        s̈ = −                g sin α.
                      M + m sin2 α                     M + m sin2 α
����������� �������� �������������� �������
                      mg sin α cos α                     M +m
               ẋ =                  t,       ṡ = −                gt sin α,
                      M + m sin2 α                     M + m sin2 α
          mg sin α cos α t2                         M +m       t2
       x=                   + x0 ,            s=−             g sin α + s0 .
          M + m sin2 α 2                          M + m sin2 α 2
��� ���� ������ ��������� ������� � ���            t=0         ��
                      x(0) = x0 , s(0) = s0 , ẋ(0) = 0, ṡ(0) = 0.
������� x(t), s(t) � ���� ������� ����� ��������� ������� x � y �����           2     2
x(t)� s(t)� ����� �������� ����� �������� � ���������� ������������
 ������ ����� ����� ����� m �������� �� �������
 ��������� ��������� ������� � ��������������� ��� y              2πa
                                                                         ✻

 ���                                                 0                x                   �
                                                                                              ✲

 x = a(u − sin u), y = −a(1 − cos u), 0 � u � 2π −2a              m
 ���� y ���������� ����������� ������� ����� �����
 ��� ��������� ������ �������� � ����� ��������
 ������ ���� ��� t = 0 y = −2a, |v| = v .              0

Страницы