Задачи по теоретической механике. Часть 1. Манаков Н.Л - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

T =
m
2
˙x
2
+ ˙y
2
, U = mgy. u
˙x = a(1 − cos u) ˙u, ˙y = −a ˙u sin u
L = T − U =
ma
2
2
˙u
2
(1 − cos u)
2
+ sin
2
u
+ mga(1 − cos u) =
= ma
2
˙u
2
(1 − cos u) + mga(1 − cos u).
u
L u/2
L = 2ma
2
˙u
2
sin
2
u
2
+ 2mga sin
2
u
2
= 8ma
2
d(cos
u
2
)
dt
2
+ 2mga
1 − cos
2
u
2
.
s = cos
u
2
4a
L = 8ma
2
˙s
2
+ 2mga(1 − s
2
).
¨s +
g
4a
s = 0
s = A cos(ωt + α),
ω =
p
g/4a A α
˙s(0) = 0 s
0
s = 0 τ = π
p
a/g
s
0
α = π/2, |A| = v
0
/
p
4ag
A t =
0
E = ˙s
∂L
∂ ˙s
− L = 8ma
2
˙s
2
− 2mga(1 − s
2
) =
mv
2
0
2
− 2mga.
                                             ��


������� � T      m� 2
                                                  �������� � ���������� u� ������
                              �
              =      ẋ + ẏ 2 , U = mgy.
                  2
ẋ = a(1 − cos u)u̇, ẏ = −au̇ sin u   �
             ma2 2 �                    �
    L=T −U =    u̇ (1 − cos u)2 + sin2 u + mga(1 − cos u) =
              2
                                = ma2 u̇2 (1 − cos u) + mga(1 − cos u).
���� ������������ u � �������� ���������� ����������� �� ����� ����������
��� ��������� �������� ��������� ���������� � �������� ������� ���
�������� ������ L ����� ���������� ����� ���������� ���� u/2 �
                                       �        u �2       �            �
        2 2    2 u         2 u       2   d(cos  2)                  2 u
 L = 2ma u̇ sin + 2mga sin     = 8ma                 + 2mga 1 − cos       .
                 2           2              dt                        2

������ ����� ���������� ���������� s = cos   � ������� ���� ����� ����
                                               u

�������� �� ������� ����������� �� ��������� ���������� � �������� ��
                                               2
4a ��������� ������ �����
                             L = 8ma2 ṡ2 + 2mga(1 − s2 ).
��������� �������� ��������� ����
                                              g
                                      s̈ +      s=0
                                             4a
� ����� �������
                                  s = A cos(ωt + α),
        �
��� ω = g/4a � A � α � ���������� ���� ����� ������������� ���������
   �� ���� ������� ����� ��������� ��� ���� ��������� �������� ����� �����
���� � ṡ(0) = 0 �� �� ����� �������� �� ������� ����� ���������� s ��������
                                                                           0
����� ���������� � ��������� ���������� ������������� s = 0� τ = π a/g �
�� ������� �� s � ��� ��������� ��� ������ ��������� � ���� ������ �� �������
                  0
�� ���������� ����� �������� �������� ����������� � ���������������
���������� ������ ���������� � ����������
   �� ��������� ������� ������� α = π/2, |A| = v / 4ag ���������� ���
                                                        �
                                                             0
����������������� ���� A ������������ ������������ �������� � ������ t =
0�
   ��� ��� ������� �������� �� ������� ���� �� �������� �� ����������
�������� �������� ������� �������
                      ∂L                                    mv02
            E = ṡ         − L = 8ma2 ṡ2 − 2mga(1 − s2 ) =      − 2mga.
                      ∂ ṡ                                   2

Страницы